2025高考数学必刷题 第54讲、空间向量及其应用（学生版）.pdfVIP

2025高考数学必刷题

第讲空间向量及其应用

54

知识梳理

知识点一：空间向量及其加减运算

（1）空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空



a

间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是

A



a

，则向量也可以记作，其模记为或．

BABaAB

（2）零向量与单位向量



0AB0

规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，．

AB

模为1的向量称为单位向量．

（3）相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量

或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．



aaa

与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为．

（4）空间向量的加法和减法运算



OCOAOBabBAOAOBab

①，．如图所示．

②空间向量的加法运算满足交换律及结合律



abba，abcabc



知识点二：空间向量的数乘运算

（1）数乘运算



aaaa

实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相

0



0aaaa

同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍．

（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

1

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

，