《用样本估计总体的离散程度参数》教学设计一.docVIP

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《用样本估计总体的离散程度参数》教学设计一

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

情境引入

为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出10株苗，测得苗高如下（单位：cm）：

甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11.

乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16.

问哪种小麦长得比较整齐？

教师提出问题，学生回答.

学生计算出平均数后发现，甲、乙两种小麦的平均苗高一样，不知道如何比较了.

这时教师指出：遇到这种平均数一样的情况，我们需要采用其他统计参数来进行比较，今天来学习方差和标准差.

给出一个两组数据的平均数相同的例子，造成学生的认知冲突，产生需要学习新知识来解决问题的需求，顺利导入新课学习.

问题探究

问题1:(1)极差的定义是什么?

答:一组数据中最大值与最小值的差.

（2）极差在刻画数据离散程度中的作用是什么?

答:极差是一种简单的度量数据离散程度的方法,极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息,对其他数据的取值情况没有涉及,所以极差所含的信息量很少.

问题2:(1)方差、标准差的定义是什么?

答:设一组样本数据,其平均数为,则称

为这个样本的方差,其算术平方根为样本的标准差,分别简称样本方差、样本标准差.

(2)方差和标准差的特征是什么?

特征:标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.在刻画数据的分散程度上,方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中,一般多采用标准差.

(3)方差公式的几种其他形式.

=1\*GB3①一般地,若取值为的频率分别为,,则其方差为.

=2\*GB3②提示:如果将总体分为层,第层抽取的样本为,,第层的样本量为,样本平均数为,样本方差为.记,那么所有数据的样本方差为

.

通过阅读教材，学生可以很容易地得到问题1的答案.教师着重向学生强调极差的缺点：只使用了一组数据中最大和最小的两个数据，信息量过少.

教师操作课件引导学生发现学习方差和标准差的必要性，对于方差和标准差的作用可由学生分组交流讨论得到，必要时可由散点图看出数据的离散程度与波动程度.

教师出示方差和标准差的特征，让学生和上节课学习的平均数、中位数和众数进行比较，理解它们之间的不同之处.

类比上一节课的几种平均数公式的推导方法，类似地来推导对应的方差公式，学生演示，全班订正.

锻炼学生的阅读概括能力.培养学生数学抽象与数学运算的核心素养.

通过自主探索与合作交流，不断纠正自己的认识，从而构建完整的知识体系.

应用举例

例1甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量（单位：）如下表所示，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.

品种

第1年

第2年

第3年

第4年

第5年

甲

9.8

9.9

10.1

10

10.2

乙

9.4

10.3

10.8

9.7

9.8

解甲品种的样本平均数为10，样本方差为

=0.02.

乙品种的样本平均数也为10，样本方差为

=0.244.

因为0.2440.02，所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定.

例2为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表所示，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差.

使用天数

451~

480

481~510

511~540

541~570

571~600

601~630

631~660

661~690

日光灯数

1

11

18

20

25

16

7

2

分析用每一区间的组中值作为相应日光灯的使用寿命,再求平均使用寿命.

解各区间的组中值分别为,,由此算得平均数约为

天)

这些组中值的方差为

(天)

故所求的标准差为(天).

例3某校从在校学生中,用分层抽样的方法抽取男生32人,女生18人.测得他们的身高后,计算得到男生身高的样本平均数为,方差为;女生身高的样本平均数为,方差为,求所有50个身高数据的样本方差.

解记男生样本为,平均数为,方差为;记女生样本为,平均数为，方差为;所有50个数据的平均数为

下面计算所有数据的样本方差.根据方差的定义,

.

因为其中的数据是未知的,需要把上面的式子转化为各层样本方差、样本平均数和样本量的函数.

经过计算可得.

教师提问：产量是否稳定，需要对比哪个统计数据？

学生回答：方差或标准差.

教师让学生根据公式计算出甲、乙两种水稻品种样本的方差后进行比较.

教师让两名学