2025高考数学必刷题 第30讲、三角函数的图像与性质（学生版）.docxVIP

2025高考数学必刷题

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第30讲三角函数的图像与性质

知识梳理

知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．

（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．

知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）

函数

图象

定义域

值域

周期性

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

递增区间

递减区间

无

对称中心

对称轴方程

无

注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；

正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；

知识点三：与的图像与性质

（1）最小正周期：．

（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．

（3）最值

假设．

①对于，

②对于，

（4）对称轴与对称中心．

假设．

①对于，

②对于，

正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．

（5）单调性．

假设．

①对于，

②对于，

（6）平移与伸缩

由函数的图像变换为函数的图像的步骤；

方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．

方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．

注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．

【解题方法总结】

关于三角函数对称的几个重要结论；

（1）函数的对称轴为，对称中心为；

（2）函数的对称轴为，对称中心为；

（3）函数函数无对称轴，对称中心为；

（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．

（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为

必考题型全归纳

题型一：五点作图法

例1．（2024·湖北·高一荆州中学校联考期中）要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．

(1)由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；

(2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．

??

(1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数在上的图像；

(2)求，的单调递增区间；

(3)当时，的取值范围为，直接写出m的取值范围.

例3．（2024·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）函数.

(1)请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图）

(2)设，，当时，试研究函数的零点的情况.

【解题方法总结】

（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．

（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．

题型二：函数的奇偶性

例4．（2024·全国·高三专题练习）函数，则（????）

A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数

C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数

例5．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数为偶函数，则的一个值可以是（????）

A． B． C． D．

例6．（2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（????）

A． B． C． D．

变式1．（2024·北京·高三专题练习）已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

变式2．（2024·浙江·高三期末）将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象，则的取值可以是（????）

A． B． C． D．

变式3．（2024·广东·高三统考学业考试）函数是（????）

A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数

变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（????）

A．0 B．2 C．4 D．6

变式5．（2024·山东·高三专题练习）设函数，如果，则的值是（????）

A．-10 B．8 C．-8 D．-7

【解题方法总结】

由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：

（1）若为奇函数，则；

（2）若为偶函数，则；

（3）若为奇函数，则；

（4）若为偶函数，则；

若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数．

题型三：函数的周期性

例7．（2024·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试）已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

例8．（2024·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）将函数的图象