2022-2023学年高一下学期期中数学试卷(原卷).docxVIP

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哈尔滨市第一中学校

2022—2023学年下学期期中考试

高一数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知i是虚数单位，复数z=，则复数z的虚部为（）

A.i B.-i C.1 D.-1

2.已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若，，则

B.若，，，则

C.若，，则

D.若，，，，则

3.平面向量与的夹角为，，，则等于（）

A. B. C. D.

4.已知向量，，，则的值是（）

A. B. C. D.

5.已知均在球的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为6，则球的体积为（）

A. B. C. D.

6.如图，在长方体中，，，，分别为棱，中点，过的平面与直线平行，则平面截该长方体所得截面的面积为（）

A. B.

C. D.

7.圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）

A.20m B.30m C.m D.m

8.在中，内角所对的边分别为，且，下列结论正确的是（）

A.

B.当，时，的面积为

C.若是的角平分线，且，则

D.当时，为直角三角形

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（）

A.是纯虚数 B.对应的点位于第二象限

C. D.

10.下列说法中错误的为（）．

A.已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是

B.向量，不能作为平面内所有向量的一组基底

C.非零向量，，满足且与同向，则

D.非零向量和，满足，则与的夹角为30°

11.在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c.下面四个结论正确的是（）

A.，，则外接圆半径是4

B.若，则

C.若，则钝角三角形

D.若，，，则面积为或

12.在正三棱锥中，设，，则下列结论中正确的有（）

A.当时，P到底面ABC的距离为

B.当正三棱锥的体积取最大值时，则有

C.当时，过点A作平面分别交线段PB，PC于点E，F（E，F不重合），则周长的最小值为

D.当变大时，正三棱锥的表面积一定变大

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.已知，，则在上的投影向量的坐标为______.

14.一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为______.

15.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且∠BAC的平分线交BC于D，若，则的最小值为________．

16.已知直三棱柱的底面为直角三角形，如图所示，，，，，则四面体的体积为__________，四棱锥的外接球的表面积为_________．

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N，P分别为AB，BC，B1C1的中点．

（1）求证：AC∥平面B1MN；

（2）求证：平面ACP∥平面B1MN．

18.已知，，．

（1）求的最小正周期及单调递减区间；

（2）求函数在区间上的最大值和最小值．

19.在中，内角所对的边分别为，已知

（1）求角；

（2）若的周长为8，外接圆半径为，求的面积.

20.如图，直四棱柱中，底面为菱形，P为的中点，M为的中点，

（1）求证：平面；

（2）若，求M到平面距离．

21.某公园有一块三角形空地，如图，在中，，，为了增加公园的观赏性，公园管理人员拟在中间挖出一个池塘用来放养观赏鱼，、在边上，且．

（1）若，求的长；

（2）为节省投入资金，池塘的面积需要尽可能的小