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福州市八县（市）协作校2022-2023学年第二学期期中联考

高一数学试卷

【完卷时间：120分钟：满分：150分】

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.复数z满足，则z的虚部为（）

A. B. C. D.

2.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）

A. B. C. D.

3.若向量，满足，，且，则与的夹角为（）

A. B. C. D.

4.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，当时，表示的复数所对应的点在复平面中位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

5.函数在的图象大致为（）

A B. C. D.

6.平行四边形ABCD中，，点F为线段AE的中点，则=（）

A. B. C. D.

7.的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状是（）

A.等腰非直角三角形 B.直角非等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

8.在中，，，是所在平面内一点，，则等于（）

A. B. C. D.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

9.下列命题正确的有（）

A.若复数在复平面上对应的点在虚轴上，则

B.复数z的共轭复数为，则的一个充要条件是

C.若，（）是纯虚数，则实数

D.关于x的方程在复数范围内的两个根互为共轭复数

10.对函数，下列判断正确的是（）

A. B.函数只有一个零点

C.函数的值域为 D.函数的单调增区间是

11.已知函数的定义域为，值域为，则的值可能为（）

A. B. C. D.

12.若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，，则（）

A. B. C.若，则 D.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知向量，，若，则______．

14.已知，，则的值是______．

15.已知复数z满足：（i为虚数单位），写出一个满足条件的z为______．

16.在中，已知，P为线段AD上的一点，且满足．若的面积为，，则线段CP长度的最小值为______．

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.平行四边形的顶点、、对应的复数分别为、、．

（1）求点对应的复数：

（2）在中，求边上的高．

18.如图，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．

（1）在θ仿射坐标系中，若，，，求t．

（2）在的仿射坐标系中，，求在上的投影向量仿射坐标．

19.已知函数．

（1）求函数的对称中心；

（2）先将函数图像向右平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图像，设函数，试讨论函数在区间内的零点个数．

20.四边形ABCD中，，．

（1）求的长：

（2）若，求四边形面积．

21.我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数

（1）设函数

（ⅰ）求函数图象的对称中心，并求的值；

（ⅱ）若函数与函数图象有两个交点A，B，若点C坐标为，求的值．

（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论．

22.如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧（含端点）上的动点．记（λ，μ均为实数）．

（1）若时，当点C恰好运动到劣弧的中点时，求的值.

（2）若时，求的取值范围;

（3）若，记向量和向量夹角为θ，求的最小值．