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长春外国语学校2022-2023学年第二学期期中考试高一年级

数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.考试结束后，将答题卡交回.

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条

形码粘贴区.

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1.若复数满足，则的虚部是（）

A.3 B.-3 C. D.

2.已知，，则（）

A. B. C. D.

3.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）

A.是棱台 B.是圆台

C.是棱锥 D.不是棱柱

4.正方形边长为1，则为（）

A1 B. C.3 D.

5.正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）

A. B. C. D.

6.在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，，则外接圆的直径是（）

A. B. C. D.

7.复数满足，则复数（）

A. B.

C. D.

8.中，如果，则的形状是（）

A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.棱台的侧面都是等腰梯形

B.棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面

C.底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形

D.以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

10.下列命题错误的是（）

A.在复平面内，实轴上的点都表示实数

B.，

C.若，为复数，且，则

D.若实数互为相反数，则在复平面内对应的点位于第二或第四象限

11.下列说法正确的有（）

A.中，是的充要条件

B.在中，若，则一定为等腰三角形

C.在中，若，则

D.在中，

12.下列说法正确的是（）

A.若，则是锐角三角形

B.若点为的垂心，则

C.方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量是共线向量

D.记的内角的对边分别为，，，若有两解，则的取值范围是

第Ⅱ卷

三、填空题（每道题5分，共20分）

13.已知向量，，且，则______.

14.已知的内角所对的边分别为，若，则_______.

15.已知是虚数单位，若复数满足，则__________.

16.如图，在矩形中，，，，是上的两动点，在的左边，且，则的最小值为________．

四、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.

17.已知向量与的夹角，且，．

（1）求，；

（2）求向量与的夹角的余弦值．

18.已知复数，．

（1）若z是纯虚数，求m值；

（2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值；

（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．

19.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，.

（1）用，表示，.

（2）如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.

20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．

（1）求角B的大小；

（2）若，，求△ABC的面积．

21.已知向量，向量．

（1）当时，求的值；

（2）设函数，且，求的最大值以及对应的x的值．

22.已知在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，

（1）求的值；

（2）求的取值范围．