2025高考数学必刷题 第59讲、圆的方程（教师版）.docxVIP

2025高考数学必刷题

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第59讲圆的方程

知识梳理

知识点一：基本概念

平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．

知识点二：基本性质、定理与公式

1、圆的四种方程

（1）圆的标准方程：，圆心坐标为（a，b），半径为

（2）圆的一般方程：，圆心坐标为，半径

（3）圆的直径式方程：若，则以线段AB为直径的圆的方程是

（4）圆的参数方程：

①的参数方程为（为参数）；

②的参数方程为（为参数）．

注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数，为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．

2、点与圆的位置关系判断

（1）点与圆的位置关系：

①点P在圆外；

②点P在圆上；

③点P在圆内．

（2）点与圆的位置关系：

①点P在圆外；

②点P在圆上；

③点P在圆内．

必考题型全归纳

题型一：求圆多种方程的形式

例1．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）过、两点，且与直线相切的圆的方程可以是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】因为、，则线段的垂直平分线所在直线的方程为，

设圆心为，则圆的半径为，

又因为，所以，，

整理可得，解得或，

当时，，此时圆的方程为；

当时，，此时圆的方程为.

综上所述，满足条件的圆的方程为或.

故选：C.

例2．（2024·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设直径的两个端点分别，

圆心C为点由中点坐标公式，得，解得

∴半径，

∴圆的方程是即

故选：A.

例3．（2024·全国·高三专题练习）已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为圆心为的圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，

所以该圆的标准方程是．

故选：A

变式1．（2024·河北邢台·高三统考期末）已知圆与直线相切，则圆关于直线对称的圆的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由圆的圆心为原点，半径为5，

又圆与直线相切，

则到直线的距离为，

则，解得，

设过且与垂直的直线为，

则：，

联立，

得直线l与的交点为，

设圆心关于点的对称点为，

由中点公式有

所以圆心关于点的对称点为，

因此圆C关于直线l对称的圆的方程为：，

故选：D.

变式2．（2024·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为两点，以线段为直径的圆C过点，则圆C的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】抛物线的焦点，准线：，设，令弦AB的中点为E，

而圆心C是线段的中点，又，即有，，

显然直线AB不垂直于y轴，设直线，由消去x得：，

则，，点E的纵坐标为，

于是得圆C的半径，圆心，而圆C过点，

则有，即，解得，

因此圆C的圆心，半径，圆C的方程为.

故选：B

变式3．（2024·全国·高三专题练习）求过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设圆心坐标为C（2b+2，b），由圆过两点A（0，4），B（4，6），可得|AC|=|BC|，

即，解得，

可得圆心为（4，1），半径为5，则所求圆的方程为．

故选：D．

变式4．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线恒过定点P，则与圆C：有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】直线，即，

由解得，即，圆C：的圆心，，

所以所求圆的标准方程为.

故选：B

变式5．（2024·全国·高三专题练习）圆C：关于直线对称的圆的方程是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为，

因为点关于直线的对称点为，

所以圆C：关于直线对称的圆的方程是

，

故选：C

变式6．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（????）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由米勒定理知当最大时，的外接圆与轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，

因为点，，

所以圆心在直线上，

又圆与轴负半轴相切，

所以圆的半径为3，

设圆心为，，

则，解得，

又，

所以

所以的外接圆的方程是，

故选：A．

变式