专题20 半角模型(解析版) .pdf

中考常考几何模型

专题20半角模型

倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形

如图①：

1

（1）∠2=∠AOB；（2）OA=OB。

2

如图②：

连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF。

模型精练

1．（2019秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是

1

边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．

2

【点睛】在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据SAA证明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG

1

＝∠DAF，根据∠EAF=∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可证明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝

2

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GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．

【解析】证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．

∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠ADF．

在△ABG和△ADF中，

ᵃᵃ=ᵃᵃ

{∠ᵃ=∠ᵃᵃᵃ

，

ᵃᵃ=ᵃᵃ

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．

1

∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF=∠BAD．

2

∴∠GAE＝∠EAF．

在△AEG和△AEF中，

ᵃᵃ=ᵃᵃ

{∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ

，

ᵃᵃ=ᵃᵃ

∴△AEG≌△AEF（SAS）．

∴EG＝EF，

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∵EG＝BE﹣BG

∴EF＝BE﹣FD．

2．（2020•锦州模拟）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N

分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．

方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；

问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证

明；

（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索

CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．

【点睛】（1）在AC上截取CD＝AN，连接OD，证明△CDO≌△ANO，根据全等三角形的性质得到OD

＝ON，∠COD＝∠AON，证明△DMO≌△NMO，得到DM＝MN，结合图形证明结论；

（2）在AC延长线上截取CD＝AN，连接OD，仿照（1）的方法解答．

【解析】解：（1）CM＝AN+MN，

理由如下：在AC上截取CD＝AN，连接OD，

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∵△ABC为等边三角形，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，

∴∠OAC＝∠OCA＝30°，

∴OA＝OC，

在△CDO和△ANO中，

ᵄᵃ=ᵄᵃ