专题17 计数原理（练习）（解析版）-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）.docx

专题17计数原理（练习）

一、填空题

1．名男生和名女生站成一排照相，则男生站在一起的概率为．

【答案】/

【分析】根据排列以及古典概型概率计算公式求得正确答案.

【解析】名男生和名女生站成一排照相，基本事件有种，

其中男生站一起的事件有种，

所以男生站在一起的概率为.

故答案为：

2．四名男生和两名女生排成一排，要求两位女生不相邻，则不同排法的种数是.（结果用数字作答）

【答案】

【分析】利用插空法，先排男生再排女生求解即可.

【解析】先排男生，再将女生排到5个空位里，有种情况.

故答案为：

3．电视台在电视剧开播前连续播放5个不同的广告，其中3个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有种.

【答案】

【分析】不相邻的问题利用插空法求解即可.

【解析】先将3个商业广告排好，有种，

再将2个公益广告插入个空中，有种，

所以不同的播放方式共有种.

故答案为：.

4．7个人站成一排，如果甲、乙2人必须站在两端，有种排法.

【答案】240

【分析】根据排列与分步乘法计数原理相关知识，先排特殊位置，再排其他位置即可.

【解析】先排甲和乙，有种排法，

再排其他5人，有种排法，

根据分步乘法计数原理，共有种排法.

故答案为：240

5．2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的5名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲不能担任语言服务工作，则不同的选法共有种.（结果用数值表示）

【答案】48

【分析】先从除甲外的4人选1人担任语言服务工作，然后从剩下的4人中选2人分别去担任人员引导和应急救助工作即可.

【解析】由题意可知，先从除甲外的4人选1人担任语言服务工作，有种方法，

然后从剩下的4人中选2人分别去担任人员引导和应急救助工作，有种方法，

所以由分步乘法原理可知不同的选法共有种，

故答案为：48

6．有8名学生排成一排，甲?乙相邻的排法种数为，甲不在排头，乙不在排尾的排法种数为.（用数字作答）

【答案】1008030960

【分析】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列；

（2）可采用间接法得到；

【解析】（1）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列，故有种情况；

（2）利用间接法，用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数，再加上甲在排头同时乙在排尾的情况，故有种情况

故答案为：10080；30960

7．至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为．

【答案】81

【分析】利用间接法，根据共面的条件，分析出重复的平面，即可求解.

【解析】共有12条棱，即有12个中点，根据任意3点不共线，故可得个平面，

其中，过4个中点的平面有：正方体的6个面，正方体的3个中截面，与面对角线和棱平行的面有个，共有个，

过6个中点的平面有4个，

所以重复的有个平面，

所以满足条件的平面有个.

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用空间想象能力，将过4个点和过6个点的平面中与过3个点的平面重复的找出来.

8．10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有种.

【答案】126

【分析】由隔板法，将10个小球排成一排，中间插入5个隔板，即可求得不同的放法.

【解析】由隔板法，将10个小球排成一排，除去两端中间插入5个不相邻的隔板，此时9个空中选5个空放隔板，将10个球分成六份，再将六份装入六个盒子中即可，不同的放法有种.

故答案为：126.

9．某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有种不同的站队方法.

【答案】25200

【分析】由已知得10名学生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可.

【解析】设10名学生中，有女生人，男生人，

则10名学生中选取3人，恰有1名女生的概率，

整理得：，即

因式分解可得：，

解得：或（舍去）或（舍去）

所以10名学生中，有女生6人，男生4人，

将6名女生排成一排有种方法，再将4名男生插到7个空中有种方法，

因为男生的左右相对顺序固定，而4名男生排成一排有种方法，

所以一共有，

故答案为：25200

10．某校开展“全员导师制”．有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有种（用数字作答）．

【答案】20

【分析】先分为两组，再利用全排列知识求解.

【解析】由题意