2.4.1圆的标准方程 人教A版（2019版）高中数学选择性必修一.pptxVIP

2.4.1圆的标准方程

复习引入

1.两点间距离公式

2.平面内一点P(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离公式是

当A=0或B=0时，公式仍然成立.

3.两条平行线Ax+By+C₁=0与Ax+By+C₂=0的距离是

2

如果把天空看作一个平面，月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示?

3

U

《古朗月行》

唐李白

小时不识月，

呼作白玉盘。又疑瑶台镜，飞在青云端。

月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写

学习新知圆的标准方程

圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

M(x,y)圆心是C(a,b),半径是r,求圆的方程.

设点M(x,y)为圆C上任一点，则IMC|=r

圆上所有点的集合P={M||MC|=r}

定点→圆心

定长→半径

若圆心为0(0,0),则圆的方程为：

2

思考：圆的标准方程有哪些特点?

①方程明确给出了圆心坐标和半径；

②确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。

学习新知圆的标准方程

圆心C(a,b),半径r

O

标准方程

M

C

X

0

O

2

2

2

5

巩固练习求下列圆的圆心和半径

(1)圆(x—1)²+(y—1)²=9圆心(1,1),半径3

(2)圆(x—2)²+(y+4)²=2圆心(2,-4),半径√2.

(3)圆(x+1)²+(y+2)²=m²圆心(一1,一2),半径|m

(4)圆x²+y²=4圆心(0,0)半径2

(5)圆(x+1)²+y²=1圆心(-1,0)半径1

6

得(5-2)²+(-7+3)²=25,左右两边相等，

点M₁的坐标满足圆的方程，所以点M₁在这个圆上.

把点M₂(-2,-1)的坐标代入方程(x-2)²+(y+3)²=25的左边，得(-2-2)²+(-1+3)²=20,左右两边不相等，

点M₂的坐标不满足圆的方程，所以点M₂不在这个圆上

探究：点M₀(x₀,yo)在圆x²+y²=r²内的条件是什么?在圆x²+y²=r²外的条件又是什么?

例1写出圆心为A(2,-3),半径等于5的圆的方程，并判断M₁(5,-7),M₂(一2,一1)是否在这个圆上

分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的

坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上.

若点到圆心的距离为d,

(1)dr时，点在圆外；

(2)d=r时，点在圆上；

(3)dr时，点在圆内；

解：圆心为A(2,-3),半径为5的圆的标准方程是(x-2)²+(y+3)²=25.把点M₁(5,-7)的坐标代入方程(x-2)²+(y+3)²=25的左边，

典型例题

7

U

典型例题例2△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)求它的外接圆方程.

解：设所求圆的方程为：(x-a)²+(y-b)²=r²因为A(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圆上

所求圆的方程为

(x-2)²+(y+3)²=25

O

待定系数法

8

例2△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),

B(7,-3),C(2,-8)求它的外接圆方程.

个yA(5,1)

X

C(2,-8)

圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点

9

U

法二

典型例题

B(7,-3)

C

0

典型例题例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1),B(2,—2),

且圆心C在直线l:x-y+1=0上，求圆心为C的标准方程.

解法1:设圆心C的坐标为(a,b)C

在直线l:x—y+1=0上，所以a—b+1=0.因为A,B是圆上两点，所以|CA|=|CB|.①根据两点间距离公式，有

√(a—1)²+(b—1)²=√(a—2)²+(b+2)²,

即a—3b—3=0.②

由①②可得a=—3,b=—2.所以圆心C

的坐标是(—3,—2).

圆的半径r=|AC|=√(1+3)²+(1+2)²=5.

所以，所求圆的标准方程是(x+3)²+(y+2)²=25.

10

U

CB(2,-2)

l:x-y+1=0

典型例题例3已知圆心为C的圆经过点A(1,1),B(2,—2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上，求圆心为C的标准方程.

y

A(1,1)

0

弦AB的垂直平分线

X

可得点D的坐标为直线AB的