专题05 三角形全等-三垂直模型（解析版）.pdfVIP

三垂直模型

模型讲解

【结论一】

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥

MN于D，BE⊥MN于E，则有以下结论成立：

①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE

【证明】：

①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE，

在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB（AAS）．

②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，

∴AD＝CE，CD＝BE，

∵DC+CE＝DE，

∴DE＝AD+BE．

【结论二】（其他形状一线三垂直）

①DE＝AD﹣BE

②DE＝BE﹣AD

方法点拨

例题演练

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE

于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝cm．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

在△CDA和△BEC中，

，

∴△CDA≌△BEC（AAS），

∴CD＝BE，CE＝AD，

∵DE＝CE﹣CD，

∴DE＝AD﹣BE，

∵AD＝8cm，BE＝3cm，

∴DE＝5cm，

故答案为：5．

2．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如图1，若AB＝8，点D是AC的中点，连接BD，求S△BCD

（2）如图2，若D、E是AC边上两点，且AD＝CE，AF⊥BD交BD、BC于F、

G，连接BE、GE，求证：∠ADB＝∠CEG．

【解答】解：（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，

∵D是AC的中点，

∴AD＝CD＝AC＝4，

∴S△BCD＝S△ABD＝AD•AB＝×8×4＝16

（2）如图2，过点C作CH⊥AC，交AG的延长线于点H，

又∵∠BAC＝90°，

∴∠HCA＝∠DAB＝90°，

∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，

∴∠DAF+∠ADF＝90°，∠ABD+∠ADF＝90°，

∴∠ABD＝∠DAF，

又∵AB＝AC，∠HCA＝∠DAB，

∴△ABD≌△CAH（AAS），

∴AD＝CH，∠ADB＝∠H．

又∵AD＝CE，

∴CH＝CE．

∵∠ACB＝45°，∠ACH＝90°，

∴∠BCH＝∠ACB＝45°，

又∵GC＝GC，CH＝CE，

∴△ECG≌△HCG（SAS），

∴∠CEG＝∠H，

又∵∠ADB＝∠H，

∴∠ADB＝∠CEG

强化训练

在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，G为AB的中点，过点G作DG⊥AB交AC于点D．

（1）如图1，连接CG，若CG＝，BC＝3，求DG的长

（2）如图2，过点D作DE⊥BD，连接AE，以点E为直角顶点，AE为直角边向外作等

腰直角三角形AEF，使得点F刚好落在BD的延长线上，求证：BC＝DE+DF．

【解答】（1）解：∵∠BCA＝90°，G是AB的中点，

∴CG＝BG＝AG＝，

∴AB＝5，

∵BC＝3，

由勾股定理得：AC＝4，

∵DG⊥AB，

∴tanA＝，

∴，

∴DG＝

（2）证明：过点A作DE的延长线的垂线相交于K，

易证△FDE≌△EKA（AAS），

∴EF＝EK，BD//AK

∴∠BDA＝∠