部编数学八年级上册专项08对角互补模型综合应用(解析版)含答案.pdfVIP

专项08对角互补模型综合应用

应用：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。

【类型一：三角形中的互补模型模型】

【典例1】（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点

E，DF交AC于点F，连接EF．若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，

并加以证明；

（2）如图（2），在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，

以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段

BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．

22+CF2

【解答】证明：（1）EF＝BE，

理由如下：如图（1）延长ED到G，使DG＝ED，连接CG，FG，

在△DCG与△DBE中，

，

∴△DCG≌△DBE（SAS），

∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，

又∵DE⊥DF，

∴FD垂直平分线段EG，

∴FG＝FE，

∵∠A＝90°，

∴∠B+∠ACB＝90°，

∴∠FCG＝90°，

2+CF22

在△CFG中，CG＝FG，

22+CF2

∴EF＝BE；

（2）如图（2），结论：EF＝EB+FC，

理由如下：延长AB到M，使BM＝CF，

∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，

∴∠MBD＝∠C，

在△BDM和△CDF中，

，

∴△BDM≌△CDF（SAS），

∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，

∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝

∠EDF，

在△DEM和△DEF中，

，

∴△DEM≌△DEF（SAS），

∴EF＝EM，

∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．

【变式1】（1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：

延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利

用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是；则中线AD的取值范围

是；

（2）问题解决：

如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交

AC于点F，连接EF，此时：BE+CFEF（填“＞”或“＝”或“＜”）；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点

作∠ECF＝70°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE+DFEF

（填“＞”或“＝”或“＜“）；

（4）若在图③的四边形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝

CD，且（3）中的结论仍然成立，则∠BCD＝（用含α的代数式表示）.

【解答】解：（1）在△ADC与△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE＝AC＝3，

在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

即2＜AE＜8，

∴2＜2AD＜8，

∴1＜AD＜4，

故答案为：2＜AE＜8；1＜AD＜4；

（2）如图，延长FD至点G，使DG＝DF，连接BG，EG，

∵点D