2025年高考数学一轮复习讲义专题05 二次函数与一元二次方程、不等式原卷版.docxVIP

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专题05二次函数与一元二次方程、不等式（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 7

【考点1】一元二次不等式的求解 7

【考点2】三个二次之间的关系 11

【考点3】一元二次不等式恒成立问题 13

【分层检测】 18

【基础篇】 18

【能力篇】 24

【培优篇】 27

考试要求：

1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.

2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.

3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.

知识梳理

知识梳理

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

2.三个“二次”间的关系

判别式

Δ＝b2－4ac

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a＞0)的图象

一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0

(a＞0)的根

有两相异实根x1，x2(x1＜x2)

有两相等实根

x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

ax2＋bx＋c＞0

(a＞0)的解集

eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))

R

ax2＋bx＋c＜0

(a＞0)的解集

{x|x1＜x＜x2}

?

?

3.(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解集

不等式

解集

ab

a＝b

ab

(x－a)·(x－b)0

{x|xa或xb}

{x|x≠a}

{x|xb或xa}

(x－a)·(x－b)0

{x|axb}

?

{x|bxa}

4.分式不等式与整式不等式

(1)eq\f(f（x）,g（x）)0(0)?f(x)·g(x)0(0).

(2)eq\f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

1.绝对值不等式|x|a(a0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|a(a0)的解集为

(－a，a).

记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.

2.解不等式ax2＋bx＋c0(0)时不要忘记当a＝0时的情形.

3.不等式ax2＋bx＋c0(0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.

(1)不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0.))

(2)不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a0，,Δ0.))

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

二、填空题

2．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.

3．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是．

4．（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，则的取值范围是.

三、解答题

5．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

6．（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）已知：，：.

(1)若是真命题，求对应的取值范围；

(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围.

考点突破

考点突破

【考点1】一元二次不等式的求解

一、单选题

1．（2021·上海徐汇·一模）已知，条件：，条件：，则是的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2023·四川乐山·一模）已知，满足，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

二、多选题

3．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（????）

A．

B．

C．

D．不等式的解集是或

4．（2023·广东深圳·模拟预测）下列命题中的真命题有（????）

A．当时，的最小值是3

B．的最小值是2

C．当时，的最大值是5

D．若关于的不等式的解集为，则

三、填空题

5．（2021·四川绵阳·模拟预测）若函数在区间(－2，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为

6．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知，关于x的不等式的解集为M，设，当a变化时，集合N中的元素个数最少时的集合N为．

反思提升：

含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大