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整数整除的概念和性质

对于整数和不为零的整数，总存在整数，使得＝bm+(0≤b)，其中称为商，称为

bmnannmn

余数，特别地，＝0时，即＝bm，便称被被整除(也称是的倍数或的约数)，记为|．

naababba

整除有以下基本性质：

1．若|，|，则|（）；

abacabc

2．若|，|，则|；

abbcac

3．若|，且(，)1，则|，特别地，若质数|，则必有|或|；

abcacabpbcpbpc

4．若|，|，且(，)1，则|．

bacabcbca

解整除有关问题常用到数的整除性常见特征：

1．被2整除的数：个位数字是偶数；

2．被5整除的数：个位数字是0或5；

3．被4整除的数：末两位组成的数被4整除；被25整除的数，末两位组成的数被25整除；

4．被8整除的数：末三位组成的数被8整除；被125整除的数，末三位组成的数被125整除；

5．被3整除的数：数字和被3整除；

6．被9整除的数：数字和被9整除；

7．被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除．

【例1】一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是．

思路点拨略

(重庆市竞赛题)

注：确定已知条件来确定自然数，是数学活动中常见的一类问题，解这类问题时往往用到下列知识方法：

(1)运用整除性质；(2)确定首位数字；(3)利用末位数字；(4)代数化；(5)不等式估算；

(6)分类讨论求解等．

2

【例2】有三个正整数a、b、c其中a与b互质且b与c也互质，给出下面四个判断：①(a+c)不能被b整

22222

除，②a+c不能被b整除：③(a+b)不能被c整除；④a+b不能被c整除，其中，不正确的判断有()．

A．4个B．3个C2个D．1个

思路点拨举例验证．(“希望杯”邀请赛试题)

【例3】已知7位数1287xy6是72的倍数，求出所有的符合条件的7位数．

(江苏省竞赛题)

思路点拨7位数1287xy6能被8，9整除，运用整数能被8、9整除的性质求出x，y的值．

【例4】(1)若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x一a)(x一b)

(x一c)(x一d)一9＝0，求证；4︳(a+b+c+d)．

(2)已知两个三位数与def的和+def能被37整除，证明：六位数abcdef也能被37整除．

abcabc

思路点拨(1)x一a，x一b，x一c，x一d是互不相等的整数，且它们的乘积等于9，于是必须把9

分解为4个互不相等的因数的积；(2)因已知条件的数是三位数，故应设法把六位数abcdef用三位数的形式

表示，以沟通已知与求证结论的联系．

注：运用整除的概念与性质，建立关于数字谜中字母的方程、方程组，是解数学谜问题的重要技巧．

华罗庚曾说：“善于‘退’，足够地，‘退’，‘退’到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学

的一个诀窍．”

从一般退到特殊，从多维退到低维，从空间退到平面，从抽象退到具体……只要不影响问题的求解，

对于许多复杂的问题，以退求进是一种重要的解题思想．