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倍长中线模型
模型讲解
【结论】
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE，则：
AB＝CD．
【证明】
方法一：延长DE至点F，使EF＝DE．
∵E是BC的中点
∴BE＝CE，
在△BEF和△CED中，
∴△BEF≌△CED（SAS）．
∴BF＝CD，∠D＝∠F．
又∵∠BAE＝∠D，
∴∠BAE＝∠F．
∴AB＝BF．
∴AB＝CD．
方法二：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
∴∠F＝∠CGE＝90°．
又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，
在△BEF和△CEG中，
1
，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF＝CG．
在△ABF和△DCG中，
∵，
∴△ABF≌△DCG．
∴AB＝CD．
方法三：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
∴∠F＝∠BAE．
又∵∠BAE＝∠D，
∴∠F＝∠D．
∴CF＝CD．
∵，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB＝CF．
∴AB＝CD．
方法点拨
2
例题演练
1．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范
围是（）
A．3＜AD＜13B．1.5＜AD＜6.5C．2.5＜AD＜7.5
D．10＜AD＜16
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC，
根据三角形的三边关系定理：8﹣5＜AE＜8+5，
∴1.5＜AD＜6.5，
故选：B．
2．如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连
接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N．
（1）若∠BAN＝15°，求∠N；
（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF．
3
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AC∥BN，
∴∠NBC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABN＝∠ABC+∠NBC＝120°，
∴在△ABN中，
∠N＝180°﹣∠ABN﹣∠BAN＝180°﹣120°﹣15°＝45°；
（2）∵AC∥BN，
∴∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG，
又∵点G是线段BE的中点，
∴BG＝EG，
∴△NBG≌△AEG（AAS），
∴AG＝NG，AE＝BN，
∵AE＝CF，
∴BN＝C
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