2.6.1 函数的单调性 (1).pptxVIP

§6.1函数的单调性

情境导入

一、情境设置:过山车是一项富有刺激性的娱乐工具。时而上升，时而下降；那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷。

二、函数单调性定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.

1．理解导数与函数的单调性的关系．2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)课标要求

1．通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养学生的逻辑推理、直观想象核心素养．2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.素养要求

探究点1导数与函数的单调性之间的关系问题我们知道，对于函数y=f（x)来说，导数f(x)刻画的是函数y=f(x)在点x的瞬时变化率，函数的单调性描述的是函数值y随自变量x取值的增加而增加，或函数值y随自变量x取值的增加而减少.两者都在刻画函数的变化，那么，导数与函数的单调性之间有何关系呢？探究导学

实例分析1.计算下面几个一次函数的导数，并讨论这些一次函数的单调性.(1)y=f(x)=x,f(x)=1；(2)y=f(x)=2x+5,f(x)=2；(3)y=f(x)=-3x+4,f(x)=-3.函数的图象如图2-11.函数⑴(2)的导数都是正的，在定义域(-∞,+∞)内函数值都是随x的增加而增加的；函数⑶的导数是负的，在定义域(-∞,+∞)内函数值是随x的增加而减少的.

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对于函数(1)和(3),相应的定义域内的每一个x都满足f(x)0,函数y=f(x)在其定义域内是增函数;对于函数(2)和⑷，相应的定义域内的每一个x都满足f(x)0,函数y=f(x)在其定义域内是减函数(图2-12).

3.最后再看幂函数y=f(x)=x2的导数及其单调性.函数y=f(x)=x2的导数是f(x)=2x,其图象如图2-13.当自变量x∈(0,+∞)时,f(x)=2x0,函数y=x2在区间(0,+∞)内单调递增；当自变量x∈(-∞,0)时,f(x)=2x0,函数y=x2在区间(-∞,0)内单调递减.

导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：(1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f(x)0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增；(2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f(x)0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减.

导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：注意若在某个区间内,f(x)≥0且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增;若在某个区间内，f(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减.

设f(x)=x＋(x0)，则f(x)的单调增区间是()A.(－∞，－2)B.(－2，0)C.(－∞，－)D.(－，0)C【即时训练】

例1讨论函数f(x)=2x3一3x2—36x+16的单调性.解f(x)=6x2-6x-36=6(x+2)(x-3).设f(x)＞0,则6(x+2)(x-3)＞0,即x＜-2或x＞3.故当x∈(-∞,-2)或x∈(3,+∞)时,f(x)＞0,因此，在这两个区间内，函数f(x)均单调递增；当x∈(-2,3)时,f(x)＜0,因此，在这个区间内，函数f(x)单调递减.

函数的单调性决定了函数图象的大致形状.因此，当确定了函数的单调性后，再通过描出一些特殊的点，如(-2,60),(3,-65)等，就可以画出函数的大致图象.图2-14即为函数f(x)=2x3一3x2—36x+16的大致图象.

根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f(x)0,得函数单调递增区间;解不等式f(x)0,得函数单调递减区间.【提升总结】

课堂小结

1.函数y=xlnx在区间(0，1)上是()A.单调增函数B.单调减函数C.在(0,)上是减函数，在(