2025年课标高考文数版习题与历届真题试卷-考点一　函数的零点(带答案解析).docx

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2.5函数与方程及函数的综合应用

考点一函数的零点

1.(2019天津,8,5分)已知函数f(x)=2x,0≤x≤1,

A.54,

C.54,9

答案D画出函数y=f(x)的图象,如图.

方程f(x)=-14x+a的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=-1

当直线l经过点A时,有2=-14×1+a,a=9

当直线l经过点B时,有1=-14×1+a,a=5

由图可知,a∈54

另外,当直线l与曲线y=1x,x1相切时,恰有两个公共点

联立y=1x,y=-14x+a

由Δ=a2-4×14

综上,a∈54

一题多解令g(x)=f(x)+14x=

当0≤x≤1时,g(x)=2x+x4为增函数,其值域为0,

当x1时,g(x)=1x+x4,对g(x)求导得g(x)=-1x

令g(x)=0,得x=2,

当x∈(1,2)时,g(x)0,g(x)单调递减,

当x∈(2,+∞)时,g(x)0,g(x)单调递增,

∴当x=2时,g(x)min=g(2)=1,

函数g(x)的简图如图所示:

方程f(x)=-14x+a恰有两个互异的实数解,即函数y=g(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点,由图可知54≤a≤

易错警示本题入手时,容易分段研究方程2x=-14x+a(0≤x≤1)与1x=-14

2.(2018课标Ⅰ理,9,5分)已知函数f(x)=ex

A.[-1,0)B.[0,+∞)

C.[-1,+∞)D.[1,+∞)

答案C本题主要考查函数的零点及函数的图象.

g(x)=f(x)+x+a存在2个零点等价于函数f(x)=ex

当x=0时,h(0)=-a,由图可知要满足y=f(x)与y=h(x)的图象存在2个交点,需要-a≤1,即a≥-1.故选C.

方法总结已知函数零点的个数求参数范围的方法

已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题,需准确画出两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.

3.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)=2-|x

A.2B.3C.4D.5

答案A由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=|x

由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2,选A.

4.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)=6x-log2

A.(0,1)B.(1,2)

C.(2,4)D.(4,+∞)

答案C∵f(1)=6-log21=60,f(2)=3-log22=20,f(4)=64-log24=3

5.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为()

A.-14

C.14,

答案C显然f(x)为定义域R上的连续函数.如图作出y=ex与y=3-4x的图象,由图象知函数f(x)=ex+4x-3的零点一定落在区间0,34内,又f14=4e-20,f

评析本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的能力,属中等难度试题.

6.(2018天津理,14,5分)已知a0,函数f(x)=x2+2ax+a,

答案(4,8)

解析本题主要考查函数零点的应用.

设g(x)=f(x)-ax=x

方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解即函数y=g(x)有两个零点,即y=g(x)的图象与x轴有2个交点,满足条件的y=g(x)的图象有以下两种情况:

情况一:

则Δ1

情况二:

则Δ1

综上,满足条件的a的取值范围是(4,8).

解题策略解决方程的根的问题时,通常转化为函数的零点问题,进而转化为函数图象的交点问题;解决函数图象的交点问题时,常用数形结合的方法,以“形”助“数”,直观简捷.

7.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)=x-4,x≥λ,

答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)

解析当λ=2时,不等式f(x)0等价于

x≥2,x

即2≤x4或1x2,

故不等式f(x)0的解集为(1,4).

易知函数y=x-4(x∈R)有一个零点x1=4,函数y=x2-4x+3(x∈R)有两个零点x2=1,x3=3.

在同一坐标系中作出这两个函数的图象(图略),要使函数f(x)恰有2个零点,则只能有以下两种情形:①两个零点为1,3,此时λ4.②两个零点为1,4,此时1λ≤3.

综上,λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).

思路分析(1)f(x)0?x≥λ,

(2)函数零点个数的判定一般要作出函数图象,此时要特别注意两段的分界点是否能取到.

8.(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=x2+(4a-3)x