2025年课标高考文数版习题与历届真题试卷-数列求和(带答案解析).docx

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6.4数列求和

三年模拟

一、选择题

1.(2024山西模拟,7)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1+an=3n+1,则S101=()

A.7701B.7449C.15401D.14897

答案A由题意知S101=a1+a2+…+a101=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a100+a101)=1+(3×2+1)+(3×4+1)+…+(3×100+1)=1+(7+301

2.(2024黑龙江哈尔滨三中二模,7)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,a2=3,2Sn=S

A.4043B.4042

C.4041D.4040

答案A由2Sn=Sn+1+Sn-1(n≥2)知{Sn}为等差数列,又S1=a1=1,S2=a1+a2=2,则公差d=1,所以Sn=n,故Sn

3.(2024河南联考“顶尖计划”,12)若函数an+1=f(an),则称f(x)为数列{an}的“伴生函数”.已知数列{an}的“伴生函数”为f(x)=2x+1,a1=1,则数列{nan}的前n项和Tn=()

A.n·2n+2-n

B.n·2n+1+2-n

C.(n-1)·2n+1+2-n

D.(n-1)·2n+2-n

答案C依题意,可得an+1=2an+1(n∈N*),所以an+1+1=2(an+1)0,则an+1+1an+1=2,故数列{an+1}为等比数列,其首项为a1+1=2,公比为2,所以an+1=2·2n-1=2n,所以an=2n-1,所以nan=n·2n-n,所以Tn=1×21+2×22+…+n·2n-(1+2+…+n)=1×21+2×22+…+n·2n-n(n+1)2.令H(n)=1×21+2×22+…+n·2n,则2H(n)=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,两式相减得-H(n)=1×21+1×22+1×23+…+1×2n-n·2n+1

所以Tn=(n-1)·2n+1+2-n(

4.(2024广东湛江、肇庆三模,7)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,…,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,即an+2=an+1+an(n∈N*),后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,记a2022=t,则a1+a3+a5+…+a2021=()

A.t2B.t-1C.tD.t+1

答案Ca2022=a2021+a2020=a2021+a2019+a2018=…=a2021+a2019+…+a3+a2=a2021+a2019+…+a3+a1=t,故选C.

(2024湖南邵阳一模,8)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则f(x)=[x]称为高斯函数.已知数列{an}满足a2=2,且(n+1)an+1-nan=2n+1,若bn=[lgan],数列{bn}的前n项和为Tn,

则T2021=()

A.4950B.4953C.4956D.4959

答案C由(n+1)an+1-nan=2n+1,a2=2可得a1=1,根据累加法得nan=nan-(n-1)an-1+(n-1)an-1-(n-2)an-2+…+2a2-a1+a1=n2,所以an=n,故bn=[lgn],当1≤n≤9时,bn=0;当10≤n≤99时,bn=1;当100≤n≤999时,bn=2;当1000≤n≤2021时,bn=3,因此T2021=90+900×2+1022×3=4956.故选C.

6.(2024辽宁名校联盟二轮复习联考(一),8)某社团专门研究密码问题.社团活动室用的也是一把密码锁,且定期更换密码,但密码的编写方式不变,都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的,密码均为100N的小数点后的前6位数字.编码方式如下;①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置;②若x为偶数,则在正偶数数列中依次插入数值为3n的项得到新数列{an},即2,3,4,6,8,32,10,12,14,16,…;若x为奇数.则在正奇数数列中依次插入数值为2n的项得到新数列{an},即1,2,3,22,5,7,23,9,11,13,…,③N为数列{an}的前x项和.如当值社员姓康,则K在26个英文字母中排第11位.所以x=11.前11项中有2,22,23,所以有8个奇数.故N=1+3+…+15+2+22+23

A.125786B.199600C.200400D.370370