2025高考数学必刷题 第12讲、函数与方程（学生版）.pdfVIP

2025高考数学必刷题

第讲函数与方程

12

知识梳理

一、函数的零点

对于函数yfx，我们把使fx0的实数叫做函数yfx的零点.

x

二、方程的根与函数零点的关系

方程fx0有实数根函数yfx的图像与轴有公共点函数yfx有零

x

点.

三、零点存在性定理

如果函数yfx在区间a,b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，



那么函数yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，使得fc0,c也就是方程



fx0的根.



四、二分法

对于区间a,b上连续不断且fafb0的函数fx，通过不断地把函数fx的



零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法

叫做二分法.求方程fx0的近似解就是求函数fx零点的近似值.



五、用二分法求函数fx零点近似值的步骤



（1）确定区间a,b，验证fafb0，给定精度.



a,bx

（2）求区间的中点.

1

fxfx0,xfxfafx0

（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令

1111

bx（此时零点xa,x）.若fbfx0，则令ax（此时零点xx,b）

11

01101

（4）判断是否达到精确度，即若ab，则函数零点的近似值为（或）；否

ab

则重复第（2）—（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【解题方法总结】

2025高考数学必刷题

函数的零点相关技巧:

①若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.

②连续不断的函数f(x)，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数f(x)通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数f(x)在闭区间[a，b]上有零点，不一定能推出f(a)f(b)0.

必考题型全归纳

题型一：求函数的零点或零点所在区间

【例】（