2025高考数学必刷题 第4讲、基本不等式及其应用（学生版）.pdfVIP

2025高考数学必刷题

第讲基本不等式及其应用

4

知识梳理

1、基本不等式

abab

如果a0，b0，那么ab，当且仅当ab时，等号成立．其中，叫作a，b

22

的算术平均数，ab叫作a，b的几何平均数．即正数a，b的算术平均数不小于它们的几何

平均数．

基本不等式1：若R，则22，当且仅当ab时取等号；

a，bab2ab

ab

基本不等式2：若a，bR，则ab（或ab2ab），当且仅当ab时取等

2

号．

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求

最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一

致．

【解题方法总结】

1、几个重要的不等式

2

a0aR,a0a0,a0aR.

（1）

ab

（2）基本不等式：如果a,bR，则ab（当且仅当“ab”时取“”）．

2

1ab

a0,a2;2a,b

特例：（同号）．

aba

（3）其他变形：

2

①22ab（沟通两和ab与两平方和22的不等关系式）

abab

2

22

ab22

ab

②ab（沟通两积与两平方和ab的不等关系式）

2

2

ab

ababab

③（沟通两积与两和的不等关系式）

2

22

2abab

④重要不等式串：11ab22a,bR即



ab



调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．

2、均值定理

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已知x,yR．

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