福建省厦门第一中学2024—2025学年度第一学期十月考高三年数学试卷终稿.docx

高二数学试卷共NUMPAGES

福建省厦门第一中学2024—2025学年度第一学期10月月考

高三年数学试卷

满分：150分考试时间：120分钟

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． 设全集，，，则

A． B． C． D．

2． 已知为等比数列的前项和，，为常数列，则

A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件

C．是充要条件 D．是的既不充分也不必要条件

3． 在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则

A． B． C． D．

4． 某银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例关于还款人的年收入（单位：万元）的Logistic模型：．已知当贷款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为，若贷款人的年收入约为5万元，则实际还款比例约为

（参考数据：）

A．30% B．40% C．60% D．70%

5． 当时，曲线与交点的个数为

A．3 B．4 C．5 D．6

6． 已知，且，，则

A． B． C． D．

7． 已知及其导函数的定义域均为，记，，若关于对称，是偶函数，则

A． B．2 C．3 D．

8． 对，，恒成立，则实数取值范围是

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9． 已知，且，则

A． B．

C． D．

10．已知函数的部分图象如下图所示，则

A．

B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调递增

D．若函数在区间上有且仅有两个零点和两个极值点，则

11．已知，则

A．若单调递增，则的取值范围是

B．当时，若有三个零点，则的取值范围是

C．当且时，

D．若存在极值点，且，其中，则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．已知向量，满足，，，，的夹角为，则▲．

13．已知为奇函数，则的单调递增区间是▲．

14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．如图，已知和都是正三角形，，，且，，三点共线，设点是内的任意一点，则的最小值为▲．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

在中，，，分别是角，，所对的边，已知，，，且．

（1）若的面积为，求的值；

（2）求的取值范围．

16．（15分）

已知在多面体中，，，，，且平面平面．??

（1）设点为线段的中点，试证明平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．

17．（15分）

椭圆的离心率为，过点的直线与交于，两点．当直线过坐标原点时，．

（1）求的方程；

（2）设，分别是的右顶点和上顶点，过点作轴的平行线分别与直线，交于，两点．试探究，，三点的横坐标是否构成等差数列，并说明理由．

18．（17分）

已知函数，．

（1）当时，求曲线在处切线的方程；

（2）当时，试判断在上零点的个数，并说明理由；

（3）证明：当时，．

19．（17分）

已知对任意正整数，均有，我们称为次切比雪夫函数．

（1）若为3次切比雪夫函数，求的值．

（2）已知为次切比雪夫函数，若数列满足．

证明：数列中的每一项均为的零点；

（3）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．