常规数列求和方法详解.pdf

第2节常规的数列求和方法（★★★）

内容提要

求数列的前n项和是常考的题型，除了基本公式外，还需掌握以下几种求和方法

1．错位相减法：适用于“等差×等比”这类数列求前n项和，详细求解过程请参考本节例1.

2．裂项相消法：将α,拆分成b,－b或b,-bn+2，相加时能抵消一些项，达到求和的目的.

-可拆分成口

I+upd~anan+1anan+2

拆分成1）．例如，1_1_11

2d~anan+2n(n+1)nn+1[+u_I-u_(I+uz)(1-uz)

-_11—1

）等

n(n+2)2nn+2

②非常规裂项：有的裂项更复杂，但本质仍是将α,拆分成b，-bn，这类问题完成裂项的关键是寻找原有

2″n+21

通项中局部的前后项关系．例如,

=√n+1-√n等

√n+√n+1

3．分组求和法：常见的分组求和方法有两类.

①分别求和再相加：设a,=b,±cn，数列{b,}，{c,}的前n项和分别为B,和C,，则数列{a,}的前n项和

A=Bn±Cn.

②项数分组再相加：将{α,}中的项按一定的规则分组，有明显规律，则可按项数分组再求和.

4．倒序相加法：若发现关于中间对称的两项相加好算，则可倒序再写一遍和式，与原和式相加

典型例题

类型I：错位相减法求前n项和

例【1】（1）设αn=n·2，求数列{α,}的前n项和S

（2）设b，=，求数列{b,}的前n项和T.

2

解：（1）（{α,}是由等差数列{n}和等比数列{2相乘构成，可用错位相减法求和，先写出S,)

由题意，S=1x2+2×2+3×23+.·+(n-1)·2-+n·2①，

(接下来在式①的两端同乘以等比数列的公比2，达到错位的目的)

所以2S,=1x2+2×23+3×24+.…+·(n-1)·2+n·2n+1②,

S,=1x2+2×2+3×2+···+(n-1)·2-+n·2①

（为方便观察，把①②写成错位形式，

[2S,=1×2+2×23+3×24+.·+·(n-1)·2+n·2+1②

这样接下来两式相减的结果就容易看出来了)

-n2·+1=2n+1-2-n2·n+1=(1-n)2·n+1-2,

1-2

所以S,=(n-1)·2+1+2.

2再两端乘以等比数列的公比来错位；但像》这种分式结构，也可

在和式两端同乘以分母2的公比2来错位，相减时计算量会稍小)

23

T.①

212223

由题意，

3

2T,=1+2

2

②-①可得：T=1+2n+2

2n-22n