2.6.1 双曲线的标准方程 教学课件(共43张PPT) 高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

第二章平面解析几何

2.6.1双曲线的标准方程

人教B版(2019)

课标要点

核心素养

1.了解双曲线的定义

数学抽象

2.掌握双曲线的标准方程

数学运算

3.了解双曲线的几何图形

直观想象

情境与问题

如图所示，某中心0接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告：A,C两个观测点同时听到了一声巨响，B观测点听到的时间比A观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.假定当时声音传播的速度为340m/s,发出巨响的位置为点P,且A,B,C,0,P均在同一平面内.你能确定该巨响发生的点的位置吗?

上述情境中，因为观测点A与C同时听到响声，说明P一定在AC的垂

直平分线上；因为观测点B听到的时间比观测点A晚4s,这说明P距离B更远，而且|PB|-|PA|=4×340=1360.

双曲线的定义

一般地，如果F₁,F₂是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a|F₁F₂I,则平面上满足||PF₁I-|PF₂Il=2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F₁,F₂称为双曲线的焦点，两个焦点的距离IF₁F₂I称为双曲线的焦距.

为F₁(-c,0),F₂(c,0).

设P(x,y)是双曲线上一点，则||PF₁I-|PF₂Il=2a,

因为IPF₁I=√(x+c²+y²,IPF₂I=√x-c)²+y²,

所以√(x+c)²+y²-√(x-c)²+y²=±2a.①

设双曲线的焦距为2c,则ca0.以F₁F₂所在直线为x轴，线段F₁F₂

的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.此时，双曲线的焦点分别

双曲线的标准方程

且②与①的右边同时取正号或负号.

,③

将③式平方，再整理得

由①得

因为ca0,所以c²-a²0,

设c²-a²=b²且b0,则④式可化为⑤

可以验证，方程⑤就是双曲线的方程，通常称为焦点在x轴上的双曲线的标准方程.显然，满足方程⑤的点的坐标有无穷多组，这无穷多组解对应的点组

成的双曲线如图所示.

足||PF₁I-|PF₂Il=2a,其中ca0.以F₁F₂所在直线为y轴，线

段F₁F₂的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.此时：

(1)双曲线焦点的坐标分别是什么?

(2)能否通过⑤式来得到此时双曲线方程的形式?

设双曲线的焦点为F₁和F₂,焦距为2c,而且双曲线上的动点P满

尝试与发现

y

F₂

0

F

P

X

其中b²=c²-a².这个方程通常称为焦点在y轴上的双曲线的标准方程.

此时双曲线的焦点是F₁(0,-c),F₂(0,c),而且只要将方程⑤中的x与y互

换，就可以得到此时双曲线的方程为

由上可以看出，双曲线的标准方程由a,c以及焦点的位置确定，其中ca

0.如不特别声明，以后总认为双曲线有相应的a,c值以及b值，其中b=√c²-a2.而且谈到双曲线的标准方程时，指的总是⑤⑥这两种形式之一.

《

例1分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0)且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8;

(2)双曲线的一个焦点坐标是(0,-6),且双曲线经过点A(-5,6).

解：(1)由已知得c=5,2a=8.

因此a=4,且b²=c²-a²=5²-4²=9.

又因为双曲线的焦点在x轴上，

所以所求的双曲线的标准方程是

(2)由已知得双曲线的焦点在y轴上，且c=5_,

所以另一个焦点坐标为(0,6).

因为点A(-5,6)在双曲线上，

所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为2a=|√(-5)²+(6+6)²-√(-5)²+(6-6)2|=|13-5|=8,

因此a=4,从而b²=6²-4²=20.

因此，所求双曲线的标准方程

例2已知F₁(-2,0),F₂(2,0),动点P满足|PF₁I-|PF₂I=2,求动点P

的轨迹方程.

解：因为所以根据双曲线的定义可知，P一定在a=1

C=2且焦点在x轴上的双曲线上

这就是说，点P的坐标(x,y)一定满足

另一方面，由|PF₁I-|PF₂I=20可知|PF₁I|PF₂