2021年沪教版数学必修二同步第13讲 向量的应用（讲义）教师版.pdfVIP

第13讲向量的应用

知识梳理

1、平面向量分解定理：

如果4,怎是同一平面内的两个不平行向量，那么于这一平面内的任意向量3有且只有一

实数4，冬，使我们把不平行的向量Z，,叫做这一平面内所有向量的一

组基.

注意：

（1）基底不共线；

2（）将任一向量7在给出基底H的条件下进行分解；

3（）基底给定时，分解形式唯一，4，42.是被［唯一确定的数量

几何角度证明：

如图，在平面内取一点0,作OA=aOB=b^OC=c再作直线0A、OB.

设点C不在直线0A和0B上，过点C分别作直线0A、0B的平行线，由于向量£石不

平行，可知所作两直线分别与直线OB、0A有唯一的交点，记为N、M.作向量而、ON.

因为丽//£,所以存在唯一的实数工，使OM=xa.

因为丽//B，所以存在唯一的实数y,使而=仍.

而四边形OMCN是平行四边形，因此OC=OM+ON=xa+yh.

即=c=xa+yB.

如果点C在直线0A或0B上，那么£//£,或工/区.

这时得==+或c=5=）（。+）石.所以之关于£、b的分解式总是确定的.

代数角度：证明唯一性：

（1）当£w。时,6=o-^+o-^

e

2（）当w0时，假设a=4e\+4e2，则有+4/=4约+办i，

4（-4）•+4（-4）•G=0.

由于.不平行，故4（_4）=o,4（_《）=o,即4=4，4=41

2、重要结论

设冰砺不平行，点P在A3上o存在实数儿〃使得丽=几方+〃而

且4+〃=1九（〃£R）

证明：如图，设向量Q=〃无瓦PB=AAB,

A

o

・.•丽+丽=而n4+〃=l

丽=丽+丽=砺+〃而=OA+〃(OB-QA)砺+〃砺

=AOA+piOB【4〃的正负可以给学生讲一下】

3、平面向量和三角形四心

(1)而+而+数=6=G是A4BC的重心.

证法1：设G(x,y),A(x,必),B(X,y),C(x,y)

]2233

XlX+X2X+X3X=

GAGBGC=0^\(~)(~)(~)°

++

.(y-y)+(%-y)+(x-y)=o

x_*+%+0

一3

JoG是A48C的重心.

M+%+为

y一

r3

证法2：如图•.•而+而+岳=百+2而=6

A

AG=2GD