《两角差的余弦公式》教学设计 (1).docVIP

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3.1.1两角差的余弦公式

（名师：郑莹莹）

一、教学目标

（一）核心素养

掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.在探究公式的过程中,逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力,培养学生学会合作交流的能力.

（二）学习目标

1.通过探索完成两角差余弦公式的推导

2.通过公式的简单应用,使学生初步理解公式的结构及其功能,并为建立其他和（差）角公式打好基础.

（三）学习重点

通过探索得到两角差的余弦公式

（四）学习难点

探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等等.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

已知，，由此我们能否得到是不是等于呢？如果不是，那

2.预习自测

（1）下列式子中正确的个数是()

①cos(α－β)＝cosα－cosβ；②cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；

③cos(eq\f(π,2)－α)＝cosα；④cos(eq\f(π,2)＋α)＝cosα.

A．0

B．1

C．2

D．3

答案：A．

解析：【知识点】两角差的余弦公式

【解题过程】①②③④都错

点拨：每个都配凑成标准两角差的余弦公式型.

（2）计算eq\f(1,2)sin60°＋eq\f(\r(3),2)cos60°＝________.

答案：eq\f(\r(3),2)

解析：【知识点】特殊角的三角函数值，两角差的余弦公式

【解题过程】原式＝sin30°sin60°＋cos30°cos60°

＝cos(60°－30°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).

点拨：先将常值换成三角函数型，在结合公式.

（3）设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sinα＝eq\f(3,5)，则eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()

A.eq\f(7,5)

B.eq\f(1,5)

C．－eq\f(7,5)

D．－eq\f(1,5)

答案：A．

解析：【知识点】两角差公式的展开形式

【解题过程】∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(4,5).

∴eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosαcos\f(π,4)＋sinαsin\f(π,4)))

＝cosα＋sinα＝eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)＝eq\f(7,5).

点拨：先求出需要的三角函数值，再套用公式.

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）三角函数的定义

（2）两个向量的数量积公式

2.问题探究

探究一

●活动1

在预习任务中我们提出的，同学们发现它并不是直接将.

下面我们一起来探究一下两角差的余弦公式

在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为p，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）

【设计意图】通过已经学习过的三角函数线的基本定义，运用数形结合的思想，和学生一起探索出两角差的几何位置.

●活动2

我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？

提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？

2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？

在证明公式之前先引导学生结合三角函数知识写出点A、点B的坐标.

证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角，其中，且，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则

由向量数量积的坐标表示，有：

由，且知，那么向量的夹角就是，由数量积的定义，有

于是（1）

由于我们前面的推导均是在，且的条件下进行的，因此（1）式还不具备一般性.事实上，只要，所表示的就是向量的夹角.（这一点可以结合图形作出说明.）

但是，若，（1）式是否依然成立呢？

当时，设与的夹角为，则

另一方面，，于是所以也有

【设计意图】在探究公式的过程中，教材不要求学生做到一步到位.首先对角选择较为特殊的范围来进行探究，能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的，让大部分学生都参与到探究中来，避免部分学生一开始就感觉到困难，提不起向下探究的兴趣.

探究二

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