2025年高考数学一轮复习讲义专题28 平面向量的概念及线性运算原卷版.docx

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专题28平面向量的概念及线性运算（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 4

【考点1】平面向量的概念 4

【考点2】向量的线性运算 5

【考点3】共线向量定理的应用 6

【分层检测】 8

【基础篇】 8

【能力篇】 9

【培优篇】 11

考试要求：

1.了解向量的实际背景.

2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.

3.理解向量的几何表示.

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知识梳理

知识梳理

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的长度(或称模)，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.

(2)零向量：长度为0的向量，记作0.

(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.

(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

(1)交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

减法

求两个向量差的运算

a－b＝a＋(－b)

数乘

规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ(μa)＝λμa；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).

2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.

3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（????）

A． B． C． D．

2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（????）

??

A． B． C． D．

3．（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（????）

A． B． C． D．

二、填空题

4．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则．

5．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为，若是线段上的动点，且，则的最小值为．

6．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是．

??

考点突破

考点突破

【考点1】平面向量的概念

一、单选题

1．（2024·广西南宁·一模）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

2．（2024·湖南永州·三模）在中，，，，，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2022·浙江·模拟预测）已知向量，，则下列命题正确的是（????）

A．若，则

B．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为

C．若与共线，则为或

D．存在θ，使得

4．（2022·辽宁丹东·模拟预测）已知，，为单位向量，若，则（????）

A． B．

C． D．

三、填空题

5．（2022·辽宁·模拟预测）已知四棱锥的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，，点E在棱PB上，且，过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是.

6．（2022·江苏·三模）已知向量，与共线且方向相反的单位向量.

反思提升：

平行向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它