新高考数学考前考点冲刺精练卷18《利用导数证明不等式》（含答案详解）.doc

新高考数学考前考点冲刺精练卷18

《利用导数证明不等式》

LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)，a∈R.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a＞0时，证明：f(x)≥eq\f(2a－1,a).

LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝elnx﹣ax(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a＝e时，证明：xf(x)﹣ex＋2ex≤0.

LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝ex.

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)当x＞﹣2时，求证：f(x)＞ln(x＋2)．

LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝eq\f(xlnx,x＋m)，g(x)＝eq\f(x,ex)，且曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为x﹣2y＋n＝0.

(1)求m，n的值；

(2)证明：f(x)＞2g(x)﹣1.

LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝xex﹣x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当x＞0时，f(x)﹣lnx≥1.

LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝eq\f(lnx,x＋a)(a∈R)，曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y＝eq\f(1,e).

(1)求实数a的值，并求f(x)的单调区间；

(2)求证：当x＞0时，f(x)≤x﹣1.

LISTNUMOutlineDefault\l3已知f(x)＝xlnx.

(1)求函数f(x)的极值；

(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞eq\f(1,ex)﹣eq\f(2,ex)成立．

LISTNUMOutlineDefault\l3已知函数f(x)＝lnx﹣ax(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；

(2)证明：ex﹣e2lnx＞0恒成立．

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析

LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)f′(x)＝eq\f(1,x)﹣eq\f(a,x2)＝eq\f(x－a,x2)(x＞0)．

当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

当a＞0时，若x＞a，则f′(x)＞0，函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增；

若0＜x＜a，则f′(x)＜0，函数f(x)在(0，a)上单调递减．

(2)证明由(1)知，当a＞0时，f(x)min＝f(a)＝lna＋1.

要证f(x)≥eq\f(2a－1,a)，只需证lna＋1≥eq\f(2a－1,a)，即证lna＋eq\f(1,a)﹣1≥0.

令函数g(a)＝lna＋eq\f(1,a)﹣1，则g′(a)＝eq\f(1,a)﹣eq\f(1,a2)＝eq\f(a－1,a2)(a＞0)，

当0＜a＜1时，g′(a)＜0；当a＞1时，g′(a)＞0，

所以g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

所以g(a)min＝g(1)＝0.所以lna＋eq\f(1,a)﹣1≥0恒成立，

所以f(x)≥eq\f(2a－1,a).

LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)f′(x)＝eq\f(e,x)﹣a(x＞0)，

①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

②若a＞0，则当0＜x＜eq\f(e,a)时，f′(x)＞0；当x＞eq\f(e,a)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(0，eq\f(e,a))上单调递增，在(eq\f(e,a)，+∞)上单调递减．

(2)证明因为x＞0，所以只需证f(x)≤eq\f(ex,x)﹣2e，

当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．

所以f(x)max＝f(1)＝﹣e.

设g(x)＝eq\f(ex,x)﹣2e(x＞0)，则g′(x)＝，

所以当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；

当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝﹣e.

综上，当x＞0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤eq\f(ex,x)﹣2e.

故不等式xf(x)﹣ex＋2ex≤0得证．

LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由f(x)＝ex，得f(0)＝1，f′(x)＝ex，

则f′(0)＝1，