2025年课标高考文数版习题与历届真题试卷-导数的概念及运算三年模拟(带答案解析).docx

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第三章导数及其应用

3.1导数的概念及运算

三年模拟

一、选择题

1.(2024江西金太阳联考,8)吹气球时,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的关系是V=43πr3.当V=4π

A.14πdm/LB.1

C.3L/dmD.4πL/dm

答案A气球的平均膨胀率为ΔrΔV,因为r(V)=33V4π,所以r(V)=

2.(2024长春质检,8)已知函数f(x)=ax+a+cosx(a∈R),则在曲线y=f(x)上一点(0,2)处的切线方程为()

A.x-y+2=0B.x+y-2=0

C.2x-y+2=0D.2x+y-2=0

答案A由f(0)=a+1=2得a=1,由f(x)=1-sinx得f(0)=1,所以切线方程为x-y+2=0,故选A.

3.(2024吉林白山模拟,3)函数f(x)=a(x+1)·ex-x的图象在点(0,f(0))处的切线斜率为1,则a=()

A.1B.-1C.-2D.2

答案A因为f(x)=aex+a(x+1)ex-1,

所以f(0)=2a-1=1,解得a=1.

4.(2024四川宜春模拟,6)已知f(x)=2cosx-π2

A.2

答案Df(x)=2cosx-

f(0)sinx,所以f(0)=2,

所以f(x)=2sinx+2cosx,所以f(x)=2cosx-2sinx,

所以f3π4=2cos3π

5.(2024河南天一联考(五),8)已知过点P(a,1)可以作曲线y=lnx的两条切线,则实数a的取值范围是()

A.(-∞,e)B.(0,e)

C.[0,e)D.(0,e-1)

答案B设切点为(b,lnb),且b0,由y=(lnx)=1x得切线的斜率k=1b,又切线过点P(a,1),所以k=lnb

由题意知:直线y=a与g(b)=2b-blnb的图象有两个不同交点.g(b)=1-lnb,令g(b)=0,得b=e,

所以当b∈(0,e)时,g(b)0,g(b)单调递增;

当b∈(e,+∞)时,g(b)0,g(b)单调递减.

所以g(b)极大值=g(e)=e.

当0b1时,lnb0,g(b)=b(2-lnb)0,当b→+∞时,g(b)→-∞,所以0ae,故选B.

6.(2024全国模拟,8)若直线l既和曲线C1相切,又和曲线C2相切,则称l为曲线C1和C2的公切线.曲线C1:y=x2和曲线C2:y=4ex-2的公切线方程为()

A.4x-y-4=0B.x-2y-4=0

C.x-y+1=0D.2x-y-2=0

答案Ay=x2的导数为y=2x,y=4ex-2的导数为y=4ex-2.

设曲线C1,C2的公切线与曲线C1的切点为(x1,x12),与曲线C2的切点为(x2,4ex2-

当公切线与曲线C1、C2的切点相同时,x1=x2,x1

由①②可得x1=x2=2,所以切点为(2,4),

此时公切线的方程为4x-y-4=0;

当公切线与曲线C1、曲线C2的切点不同时,x1≠x2,2x1=x12-4e

所以4x2-4=4ex2-2,即x2-1=ex2-2,所以x

综上可得,切点的坐标为(2,4),公切线的方程为4x-y-4=0.故选A.

7.(2024广东3月联考,6)吹气球时,气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的关系是V=43πr3.当V=4π

A.14πdm/LB.1

C.3L/dmD.4πL/dm

答案A因为V=43πr3,所以r=334πV,所以r=34π

8.(2024湖南三湘名校联盟联考,8)设函数f(x)=2sinα-1x2+(2-sinα-3)x(α∈R)的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l的倾斜角θ的最小值是()

A.π

答案D∵f(x)=2sinαx+2-sinα-3,∴f(1)=2sinα+2-sinα-3.∵-1≤sinα≤1,

∴2-1≤2sinα≤2,则2sinα+2-sinα≥22sin

f(1)的最小值为-1,易得f(1)的最大值为2+2-1-30,∴θ∈3π4

二、填空题

9.(2024陕西模拟,13)若曲线f(x)=mxex-n在点(1,f(1))处的切线为y=ex,则mn=.?

答案-e

解析将x=1代入y=ex,得切点坐标为(1,e),

则e=me-n.

∵f(x)=mex(x+1),∴f(1)=2me=e,得m=12

∴n=-e2

10.(2024云南师大附中月考,14)曲线f(x)=ln(1+x)+sinx+2在点(0