2025年课标高考文数版习题与历届真题试卷-考点　直线、平面垂直的判定和性质(带答案解析).docx

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8.4直线、平面垂直的判定和性质

考点直线、平面垂直的判定和性质

1.(2019课标Ⅰ,16,5分)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为3,那么P到平面ABC的距离为.?

答案2

解析本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质,点到平面距离的计算等知识点;考查了学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力;考查的核心素养为直观想象.

设PO⊥平面ABC于O,PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,连接OE、OF、OC,

∵PO⊥平面ABC,∴PO⊥AC,又PO∩PE=P,∴AC⊥平面POE,∴AC⊥OE,同理有BC⊥OF,∴四边形OECF为矩形,

∵PC=PC且PE=PF,

∴Rt△PEC≌Rt△PFC,

∴EC=FC=PC

∴四边形OECF是边长为1的正方形,

∴OC=2,

在Rt△POC中,PO=PC2-

思路分析设PO⊥平面ABC,作PE⊥AC,PF⊥BC,根据线面垂直的判定与性质判定四边形OECF为矩形,根据Rt△PEC≌Rt△PFC,得出EC=FC,进而判定四边形OECF是正方形,从而得出OC的长,进一步在Rt△POC中求出PO的长,即得点P到平面ABC的距离.

2.(2019江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.

求证:(1)A1B1∥平面DEC1;

(2)BE⊥C1E.

证明本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.

(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,

所以ED∥AB.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,

所以A1B1∥ED.

又因为ED?平面DEC1,A1B1?平面DEC1,

所以A1B1∥平面DEC1.

(2)因为AB=BC,E为AC的中点,

所以BE⊥AC.

因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,

所以C1C⊥平面ABC.

又因为BE?平面ABC,

所以C1C⊥BE.

因为C1C?平面A1ACC1,AC?平面A1ACC1,C1C∩AC=C,

所以BE⊥平面A1ACC1.

因为C1E?平面A1ACC1,

所以BE⊥C1E.

3.(2017北京,18,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.

(1)求证:PA⊥BD;

(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;

(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.

解析(1)证明:因为PA⊥AB,PA⊥BC,AB∩BC=B,

所以PA⊥平面ABC.

又因为BD?平面ABC,

所以PA⊥BD.

(2)证明:因为AB=BC,D为AC的中点,

所以BD⊥AC.由(1)知,PA⊥BD,

又PA∩AC=A,

所以BD⊥平面PAC.因为BD?平面BDE,

所以平面BDE⊥平面PAC.

(3)因为PA∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=DE,

所以PA∥DE.

因为D为AC的中点,AB⊥BC,

所以DE=12PA=1,BD=DC=2

由(1)知,PA⊥平面ABC,

所以DE⊥平面ABC.

所以三棱锥E-BCD的体积V=16BD·DC·DE=1

4.(2018北京,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.

(1)求证:PE⊥BC;

(2)求证:平面PAB⊥平面PCD;

(3)求证:EF∥平面PCD.

证明(1)因为PA=PD,E为AD的中点,

所以PE⊥AD.

因为底面ABCD为矩形,

所以BC∥AD.

所以PE⊥BC.

(2)因为底面ABCD为矩形,

所以AB⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,

所以AB⊥平面PAD.

所以AB⊥PD.

又因为PA⊥PD,PA∩AB=A,

所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD,

所以平面PAB⊥平面PCD.

(3)取PC的中点G,连接FG,DG.

因为F,G分别为PB,PC的中点,

所以FG∥BC,FG=12

因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,

所以DE∥BC,DE=12

所以DE∥FG,DE=FG.

所以四边形DEFG为平行四边形.

所以EF∥DG.

又因为EF?平面PCD,DG?平面PCD,

所以EF∥平面PCD.

5.(2016课标Ⅰ,18,12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.

(1)证明:G是