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学科培优数学

“牛吃草问题”

学生授课日期

授长

知识定位

牛吃草问题的概念:

英国的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道非常有名的、关

于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”，也就是我

们今天要学的牛吃草问题。牛吃草问题实际上是在教我们一种分析题的思想，这

种题的类型和解题思想是小升初的考试热点

知识梳理

“牛顿问题”是这样的：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛

23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且

牧场上的草是不断生长的。”分析本题就给了牛的头数，和吃草的时间。设想如

果题目给我们操场原有的草量和草的生长速度那么题目就变得简单多了，所以需

要我们通过设每头牛每天的吃草速度为“1”来求这两个量。

解决牛吃草问题常用到四个基本：

(1)草的生长速度＝(对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较

少天数)÷(吃的较多天数－吃的较少天数)

(2)原有草量＝(牛头数－草的生长速度)×吃的天数

(3)吃的天数＝原有草量÷(牛头数－草的生长速度)

(4)牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度

【授课批注】

关于牛吃草这样的题有很多的变例，像抽水问题，超市开口人等待问题，扶

梯行走，行程中的追及问题等等，所以不提倡大家生搬这个公来做题，要理解解

题的思路和解题的目的，用画图或列表法来解题。才能做到举一反三。本讲主要

解决纯牛吃草问题，关于牛吃草变型题我们留下以后解决。

解决“牛吃草”问题的步骤可以概括为三步：

1、设定1头牛1天吃草量为“1”；

2、列出表格，分别表示牛的数量、时间总量、草的总量（原有总量＋一定时

间内变化的量），根据表格求出草的生长速度和草的总量；也可以画图来解题。

3、根据每头牛单位时间吃草数量和草的生长速度不变这一关系根据题目要求

解题。

【重点难点解析】

1.牛吃草关键是要求两个量：（1）草的生长速度（2）原有草量

2.牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率

【竞赛考点挖掘】

1.多种动物参与的牛吃草问题

2.多块草地上的牛吃草问题

例题精讲

【试题】

【题目】牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15

头牛吃10天。供25头牛可吃几天？

【答案】5

【解析】（方法一）设１头牛１天的吃草量为“１”，摘录条件将它们转化为如下形式方便分

析（这种方法叫列表分析）

10头牛20天10×20＝200：原有草量＋20天生长的草量

15头牛10天15×10＝150：原有草量＋10天生长的草量

从上易发现：20－10＝10天生长的草量＝200－150＝50，即1天生长的草量＝50÷10＝5；

那么原有草量：200－5×20＝100或150－5×10＝100。

25头牛里，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100÷20＝5（天）可将原有草

吃完，即它可供25头牛吃5天。

（方法二）画图法：从右面的图可以看出：10头牛20天

吃的总草量比15头牛10天吃的总草量多，多出部分相

当于10天长10×20−15×10=50（份），则这块

牧场每天新长50÷10=5（份）牧草。在第一种情况中，

20天一共新长了5×20=100（份）牧草，而