湖南省衡阳市衡阳县2024届高三第一次模拟考试数学试卷.docx

衡阳县2024届高三第一次模拟考试卷

数学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1．设集合，则（）

A．B．C．D．

2．已知复数满足，且，则的值为（）

A． B． C． D．

3．在中，，为的中点，，为上一点，且，则（）

A． B． C． D．

4．已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（）（参考数据：取）

A．第天 B．第天 C．第天 D．第天

5．已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，为四棱锥内切球表面上一点，则点到直线距离的最小值为（）

A． B． C． D．

6．已知是定义在上单调递增且图像连续不断的函数，且有，设，则下列说法正确的是（）

A．B．

C．D．

7．已知抛物线的焦点为，过作不与轴垂直的直线交于两点，设的外心和重心的纵坐标分别为（是坐标原点），则的值为（）

A． B． C． D．

8．已知函数，，若成立，则的最小值为（）

A． B． C． D．

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）

9．记函数的最小正周期为，若，且在上的最大值与最小值的差为，则（）

A． B．

C．在区间上单调递减 D．直线是曲线的切线

10．已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（）

A．数列的第项小于 B．数列不可能是等比数列

C．数列为递增数列 D．数列中存在大于的项

11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（）

A．若平面是面积为的等边三角形，则

B．若，则

C．若，则球面的体积

D．若平面为直角三角形，且，则

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12．甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有个红球，个白球；乙盒中有个红球，个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为.

13．展开式中的常数项是，则实数．

14．正四面体的棱长为，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为.

四、解答题（本题共5小题，共77分）

15．（13分）若锐角的内角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且．

(1)求角的大小；

(2)求的取值范围.

16．（15分）已知数列是等差数列，，，且，，构成等比数列.

(1)求；

(2)设，若存在数列满足，，，且数列为等比数列，求的前项和．

17．（15分）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且．

(1)求证：平面；

(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．

18．（17分）年月日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：

(1)判断是否有的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；

(2)若把这名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取人，再从这人中随机抽取人，记抽取的人中女生数为，求的分布列及.

附：①，其中；

②当时有的把握认为两变量有关联.

19．（17分）已知函数.

(1)证明：；

(2)设，求证：对任意的，都有成立.

数学答案

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1.【答案】D

【详解】

因为，所以，解得，

因为，所以，解得，

所以，，

故．

故选：D．

2.【答案】D

【解析】

首先设复数，根据和得出方程组，求解可得：

，通过计算可得：，代入即可得解.

【详解】

设，由且，得

，解得，.

∴，

而，

.

∴.

故选：D.

3.【答案】D

【分析】

由中点可知，根据模长关