《二倍角的正弦、余弦和正切公式》教学设计 (1).doc

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3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式

(名师：李伟)

一、教学目标

（一）核心素养

通过二倍角公式的学习和应用，使学生体会化归这一基本数学思想在发现和解决问题过程中的作用．在直观想象、数学推理中感受二倍角公式的特点．

（二）学习目标

1．了解二倍角公式的来由、过程，探求二倍角公式证明的思想方法．

2．通过学习二倍角公式的产生过程，深刻理解二倍角公式的本质．

3．能熟练地正用、逆用以及变形利用二倍角公式解决一些基本的问题．

（三）学习重点

1．深刻理解二倍角公式的由来、产生公式的过程．

2．认识二倍角公式的本质．

（四）学习难点

二倍角公式的本质及拓广应用．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第132页至第135页，填空：

二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α＝.(S2α)

cos2α＝(C2α)

＝

＝.

tan2α＝.(T2α)．

（2）推一推：由二倍角公式进行公式的变形，填空：

＝＝；

＝；＝；

cos2α＝；sin2α＝．

2．预习自测

（1）已知，则()

A．

B.

C．

D．

答案：A．

解析：【知识点】二倍角公式的正用．

【解题过程】∵，∴，，.

∴，

点拨：先算单倍角的三角函数值，再通过倍角公式即可得．

（2）=()

A．0

B.

C．1

D．

答案：B．

解析：【知识点】二倍角公式的逆用．

【解题过程】∵，∴选B，

点拨：需要观察所求式子的特征，符合二倍角的余弦公式．

（3）若tan(α＋eq\f(π,4))＝3＋2eq\r(2)，则＝________.

答案：．

解析：【知识点】二倍角公式的正用及其逆用．

【解题过程】∵

又

点拨：先化简所求的式子，再结合已知条件，构造所要求的条件和结构

（4）求值：

答案：．

解析：【知识点】二倍角公式的变用．

【解题过程】由，

则有，那.

又，则，所以

点拨：注意到，所以先将已知条件化简得到，进而用二倍角公式求.

(二)课堂设计

1．知识回顾

（1）两角和与差的余弦公式

cos(α－β)＝.(C(α－β))

cos(α＋β)＝.(C(α＋β))

（2）两角和与差的正弦公式

sin(α＋β)＝.(S(α＋β))

sin(α－β)＝.(S(α＋β))

（3）两角和与差的正切公式

tan(α＋β)＝.

tan(α－β)＝.

2．问题探究

探究一结合实例，得到二倍角公式★

●活动①提出问题

要在半径为的半圆材料上(如图1)截成一条边在直径上的内接长方形．设，当为多大时，才能使长方形面积最大?

易得，那么当为多大时，才能使长方形面积最大？这就需要考虑，这里分别最大都是1，但不能同时取到，所以需要化简．请学生回顾，在哪里见过这种正弦余弦相乘的结构，自然想到和差角的正弦公式．

【设计意图】从实际数学问题入手，体会二倍角公式学习的必要性．

●活动②知识回忆，公式探索

两角和与差的正弦公式

sin(α＋β)＝.(S(α＋β))

sin(α－β)＝.(S(α＋β))

提问1：在已学的和差角的正弦公式中，怎样才能出现刚才的？明显需要把都赋值成，所以即可以得二倍角的正弦公式：.此外，在差角公式中得出来的就是恒等式，无研究意义了．

提问2：按照同样的方法，能否推出二倍角的余弦和正切公式？由学生自己动手完成．

；

提问3：对于，在展开式当中，能否写成其他的形式？用可以替换其中的一个三角函数，所以，从而可以将二倍角的余弦写成只有中的一个即可，为今后的运算带来更大的方便．

【设计意图】通过二倍角公式的推导，让学生体会倍角公式是从一般到特殊的替代赋值过程．

探究二理解二倍角公式的本质★

●活动①理解二倍角的本质

提问1：如何理解二倍角中的“倍”的含义？

倍是针对两个量之间的关系的，倍角是相对而言的．比如的2倍，的2倍，的2倍，所以这里的二倍角其本质蕴含着换元的思想．

提问2：二倍角公式中角的取值范围有什么要求？

根据前面学习三角函数的定义，就只有正切有要求，只要有正切作用的角，都不能取

●活动②巩固理解，加深认识

提问3：这些公式有什么特征？

公式从左到右，次数由一次变成二次，而角度由双倍角变为单倍角．也就是次数在增倍，角度在减半，所以都是处在平衡之中的．即从左到右减倍增次．

【设计意图】在对公式的特点进行进一步分析，让学生能够体会这其中的换元的思想，以及在恒等式的变形中都会有一个平衡，次数增加必有角度减半，反之亦然．

探究三公式的变形及应用★▲

●活动①理解提升，公式的拓展变形

提问：如何进一步理解倍角和次数的关系，二倍角公式还可以做哪些变形？学生自主探究，相互讨论，合作交流．

二倍角公式反应的是将二倍角的三角函数值与单倍角的三角函数值的转化，从而对于二倍角的余弦公式就可以拓广有升幂（降角）公式，降