7.4.2超几何分布--高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册 (2).pptxVIP

第七章随机变量及其分布

7.4二项分布与超几何分布

7.4.2超几何分布

学习目标：

1.通过具体实例，了解超几何分布；

2.掌握超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.教学重点：

超几何分布模型，以及用它解决一些简单的实际问题.

教学难点：

利用超几何分布模型解决实际问题.

问题1已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的

方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X,求随机变量X的分布列.

如果采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08,且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X～B(4,0.08).

问题2如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否

也服从二项分布?如果不服从，那么X的分布列是什么?

采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08,但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.

X

0

1

2

3

4

P

0.71257

0.25621

0.02989

0.00131

0.00002

,k=0,1,2,3,4.

概型的知识，得X的分布列为

都是等可能发生的.其中4件产品中恰有k件次品的结果数为C₈C4-k.由古典

可以根据古典概型求X的分布列.由题意可知，X可能的取值为0,1,2,

3,4.从100件产品中任取4件，样本空间包含

计算的具体结果(精确到0.00001)如表所示.

个样本点，且每个样本点

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随

机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为

,k=m,m+1,m+2,…,r.

其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何

分布.

例1从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.

解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1),则X服从超几何分布，且因此甲被选中的概率N=50,M=1,n=5.

因此甲被选中的概率为

p是N件产品的次品率，而

即E(X)=np

设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品

的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令

是抽取的n件产品的次品率，我们猜想

则

实际上，由随机变量均值的定义，令m=max(0,n-N+M),r=min(n,M),

因为

所以

有

例2一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，

从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.

(1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；

(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.

解：(1)对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4,且各次试验之

间的结果是独立的，因此X～B(20,0.4),X的分布列为

Pk=P(X=k)=C2o×0.4*×0.6²0-k,k=0,1,2,…,20.

对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分

布列为,k=0,1,2,.,20.

k

P₁k

P₂k

k

Pik

P₂k

0

0.00004

0.00001

11

0.07099

0.06376

1

0.00049

0.00015

12

0.03550

0.02667

2

0.00309

0.00135

13

0.01456

0.00867

3

0.01235

0.00714

14

0.00485

0.00217

4

0.03499

0.02551

15

0.00129

0.00041

5

0.07465

0.06530

16

0.00027

0.00006

6

0.12441

0.12422

17

0.00004

0.00001

7

0.16588

0.17972

10

10

0.00000

0.00000

8

0.17971

0.20078

19

0.00000

0.00000

9

0.15974

0.17483

20

0.00000

0.00000

10

0.11714

0.11924

(2)利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值(精确到0.00001)

如表所示.

样本中黄球的比例是一个随机变量，根据上表，计算得

有放回摸球：P(|f2o-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7469.

不放回摸球：P(|f2o-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7988.