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切线长定理
【新知探究】
B
P
O
A
特别注意：
切线是直线，无法度量长度；
切线长是切线上一条线段的长，
即圆外一点与切点之间的距离，可以度量。
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
切线长
切线长
已知，如图PA、PB是☉O的两条切线，A、B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
Rt△OAP≌Rt△OBP
PA=PB，
∠APO=∠BPO.
【新知探究】
B
P
O
A
【新知探究】
切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
注意：过圆外任意一点都可以引圆的两条切线；过圆上一点只能引圆的一条切线。
几何语言:
∵PA、PB分别切☉O于A、B
∴PA=PB∠OPA=∠OPB
看见圆外一点向圆引的两条切线；想到切线长相等且夹角被平分。
B
P
O
A
【解决问题】
如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D．若PA＝15cm，
（1）PB=cm.
（2）若∠AEF＝120°，则∠FEO=.
（3）△PEF的周长是cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF=.
【解决问题】
如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D．若PA＝15cm，
（1）PB=cm.
（2）若∠AEF＝120°，则∠FEO=.
（3）△PEF的周长是cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF=.
15
解：
(1)∵PA，PB是☉O的切线，
∴PB=PA=15.
(2)∵EA，EP是☉O的切线，
∴∠AEO＝∠FEO.
∴∠FEO＝60°.
60°
【解决问题】
2.如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D．若PA＝15cm，
（3）△PEF的周长是cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF=.
【解决问题】
2.如图，已知PA，PB，EF分别切⊙O于点A，B，D．若PA＝15cm，
（3）△PEF的周长是cm.
（4）若∠P＝50°，则∠EOF=.
30
65°
解：（1）由切线长定理知,PA=PB,EA=ED,FD=FB,
∴PE+ED=PE+EA=PA=15,
PF+FD=PF+FB=PB=15,
∴C△PEF=PE+EF+PF
=PF+ED+PF+FD=30cm
(2)∵∠P=50,∴∠PEF+∠PFE=180°-50°=130°,
∴∠AEF+∠BFE=180°×2-130°=230°
由切线长定理可知，∠FEO=∠OEA,∠EFO=∠OFB,
∴∠FEO+∠EFO=115°
∴∠EOF=180°-115°=65°
20°
4
当堂练习
110°
2.如图，已知点O是△ABC的内心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC=.
A
3.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．
20
4.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点为A、B,
∠P=50°，点C是⊙O上异于A、B的点，则∠ACB=.
65°或115°
拓展提升：
5.直角三角形的两直角边分别是3cm,4cm,试问：
(1)它的外接圆半径是cm;内切圆半径是cm？
(2)若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相切，求☉O的半径r的取值范围.
5
1
解：设BC=3cm，由题意可知与BC、AC相切的最大圆与BC、AC的切点分别为B、D,连接OB、OD,则四边形BODC为正方形.
∴OB＝BC＝3cm，
∴半径r的取值范围为0＜r≤3cm.
【梳理小结】
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
知识
切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
模型：构建切线长定理的基本图形
转化：利用切线长定理进行相关角或线段的等量转化
方法
感谢聆听，同学们再见！
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