《简单的三角恒等变换（第2课时）》教学设计.docVIP

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3.2.3简单的三角恒等变换（第2课时）杨峻峰

一、教学目标

（一）核心素养

通过本节课的学习，了解化简三角函数式及证明三角恒等式的要求，掌握化简三角函数式及证明三角恒等式的常规技巧和方法．从中体会、学习换元思想、方程思想及化归思想．

（二）学习目标

能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明．

（三）学习重点

有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．

（四）学习难点

认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，有从整体上把握变换过程的能力.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

读一读：

（1）化简三角函数式：

化简三角函数式的要求：

①能求值的应求值；②使式子次数尽量低、项数尽量少；

③使三角函数的种类尽量少；④尽量使分母及被开方数不含三角函数；

⑤将高级运算表为低级运算.

化简三角函数式的方法：

一些常规技巧：“1”的代换，切割化弦，和积互化，化非特殊角为特殊角，异角化同角，异名函数化为同名三角函数，异次化为同次，切割化弦等．

（2）三角恒等式的证明：

三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.

三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．

①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；

②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．

2.预习自测

（1）化简：__________.

【知识点】两角差的正、余弦公式．

【解题过程】

．

【思路点拨】将所求式子通分后化简，再逆用两角差的正、余弦公式．

【答案】．

（2）若，，则__________.

【知识点】两角和与差的余弦函数公式．

【解题过程】

，即，

两边平方，得，即，

解得：或，

由，得，所以．

【思路点拨】将已知式子左边利用两角和与差的余弦函数公式进行化简，右边利用同角三角函数基本关系进行变形．

【答案】．

（3）已知，，则的值为__________.

【知识点】同角三角函数的基本关系，二倍角公式，诱导公式．

【数学思想】

【解题过程】

因为，，所以．

．

【思路点拨】利用同角三角函数的基本关系可求，再利用二倍角公式及诱导公式对所求式子进行化简．

【答案】．

(二)课堂设计

1．知识回顾

（1）半角公式：

①；②；

③（有理形式），（无理形式）.

（2）积化和差与和差化积公式：

①积化和差公式：

；

；

；

.

②和差化积公式：

；

；

；

.

②辅助角公式：

，其中.

2．问题探究

探究一三角函数的化简

●活动①

例1已知为第四象限角，化简：.

【知识点】三角函数的有理化．

【数学思想】

【解题过程】因为为第四象限角，所以

原式

．

【思路点拨】根式形式的三角函数式化简常采用有理化或升幂公式．

【答案】．

同类训练

已知，化简．

【知识点】升幂公式．

【数学思想】

【解题过程】因为，所以．

原式．

【思路点拨】根式形式的三角函数式化简常采用有理化或升幂公式．

【答案】．

●活动②

例2已知，化简：.

【知识点】弦切互化，半角有理式的应用．

【数学思想】化归思想

【解题过程】

因为，所以.

因为，.所以

原式

因为，所以，所以．原式．

【思路点拨】涉及半角的正切式与弦函数的积时，应考虑半角的有理式的应用．

【答案】．

同类训练

化简．

【知识点】弦切互化、诱导公式、倍角公式．

【数学思想】化归思想

【解题过程】

原式

．

【思路点拨】分子提取配方，分母利用诱导公式将变形为．

【答案】．

探究二三角恒等式的证明

●活动①

例3求证：.

【知识点】弦切互化，积化和差、和差化积公式．

【数学思想】化归思想

【解题过程】

方法一：

．

方法二：

．

【思路点拨】从左往右证，可利用同角三角函数基本关系式切化弦，再利用积化和差进行转化即可．

【答案】见解答过程．

同类训练

证明：．

【知识点】弦切互化、三角函数基本关系式、倍角公式．

【解题过程】

．

【思路点拨】左边切化弦再通分，利用基本关系式、倍角公式推导．

【答案】见解答过程．

●活动②

例4证明:.

【知识点】左右归一．

【解题过程】

左边

右边

所以左边＝右边，等式成立．

【思路点拨】等式两边结构都较为复杂，可左右同时化简，采用左右归一的途径．

【答案】见解答过程．

同类训练

若，求证：．

【知识点】“消元法”、两角差的正切公式、倍角公式．

【数学思想】

【解题过程】

∵，即，

∴

又∵

∴．

【思路点拨】等式左边式子包含两个角，右边只有一个，考虑消去一个角，都用角进行表示．

【答案】见解题过程．

●活动③

例5在△ABC中，，求证：.

【知识点】降幂公式、两角和正弦函数公