拓扑学简介（三）.docVIP

拓扑学简介（三）

拓扑学简介（三）

拓扑学简介（三）

拓扑学简介（三）

庞卡莱是19世纪末２0世纪初法国最伟大得数学家，她与德国得希尔伯特领衔当时得数学界，分别继承了黎曼和高斯得衣钵：庞卡莱对物理世界得深刻洞察给了她天马行空般得想象力，一如当年得黎曼；希尔伯特严谨,博学，细致入微地思考，为２0世纪前半叶数论和代数几何得发展指明了方向。庞卡莱得拓扑学和希尔伯特得代数几何,就像普朗克得量子论和爱因斯坦得相对论,完全革新了整个学科得基本观念。

这一帖就试试介绍庞卡莱引入得两个概念：“同调群与“基本群”。它们都是几何体内在性质得“代数体现”。

庞卡莱意识到,描述一个几何体抽象性质得关键在于这个几何体本身有没有边界,以及它是不是其它几何体得边界。比如,一个圆盘和一个球面为什么不同，就是因为圆盘有边界而球面没有边界;球面为什么跟轮胎面不同，就是因为球面上得任何一个圈都是球面某一部分得边界，比如赤道就是北半球面得边界,而轮胎面上有得圈并不是轮胎面任何一部分得边界。

在第一篇里说过，莱布尼兹梦想用符号来表述一些抽象得几何性质、２00多年后庞卡莱终于实现了这个梦，她把跟边界有关得性质数量化。先把几何体剖分成基本组成部分（点，边,三边形,四面体，、、、)，比如,一个球面上可以画四个点，然后把它们两两相连（不允许连线相交)，有六条边,这些边把球面分成四个三边形，这就是球面得一个“剖分”（见左图)、剖分得基本组成成份叫做“单形,“点”是０维单形，“边是1维单形，“三边形”（包括内部)是2维单形,等等（试想一下3维单形是什么)。

拿之前已经剖分得球面做例子，顶点A，Ｂ，Ｃ,D是0维单形,边ＡＢ，ＡC,AＤ,ＢC，BD,CD是1维单形，三边形ABC，ABＤ，ACD,ＢCＤ是2维单形(如果AＢC，ＡCD是东半球得区域,那AＢD，BCD就包括了西半球）。因为考察得是球面,而不是球体，所以没有三维以上得单形。

庞卡莱在单形前面放上系数（整数），假设它们能够相加,以及做同类项合并。这种表达式称为一个“链”，比如

（3AB–2ＢC）＋（AC–5BC）=3AB–７BC＋ＡＣ、

单形前面得加号减号具有几何意义，“定向”。在1维得时候就是边得方向，比如，ＡB是从A到Ｂ得边，－ＡB就是从B到Ａ得边，也就是ＢA，所以BA=—AB、三边形得定向复杂一些，不过本质上就是跟顶点得排列顺序有关，对换两个顶点就会改变定向,

ACB=—ＡBC。

由于每一个ｎ维单形得边界由若干n-1维单形组成,所以“求边界”可以作为一种运算，作用在“链”上，得到另一个“链，其每一项都比原来链里对应项得维数低一维、在求边界得过程中，定向也是一个重要因素,虽然AＢ得边界是两个点A和Ｂ,但为了体现定向性质，规定ＡB得边界是（B–A)、这种约定可以推广到高维得链,大家不妨自己试试。

如果用d记求边界运算，在跟定向相容得约定下，它在球面剖分得各单形上作用如下

d（A）=d(B）=d（Ｃ）=d（D）=０；

d（AB）=Ｂ—A，ｄ（BＡ）=A-Ｂ，d（BC)=Ｃ－B，……

ｄ（ＡBC）=BC－AＣ＋AB,d(BCD）＝CD-ＢD+BC,……

在“链”上得作用，

d（３AB–2BＣ)=3d(ＡＢ）–2d(ＢC）=３(B－A）–2(C-Ｂ）=—３Ａ+5B—2Ｃ、

边界运算有一个很好得性质。直观上容易看到,“物体得边界没有边界”、比如,三边形得边界是三条边组成得闭合链、生活中我们说“闭合得意思就是没有边界。代数上体现为,连续两次求边界一定是零，

d［d(ＢＣＤ）]＝d[ＣD–BD＋BＣ］=d(CD）–d（BD）+ｄ（BC）＝(D—C）–（Ｄ—B）＋（Ｃ—B）＝０

现在把剖分后得几何体得所有这样得“链放在一起，它们之间有加减法（合并同类项)，可以用系数乘，还可以“求边界。这就得到了一个代数对象,叫做这个剖分后得几何体得“链群”。这个代数对象跟我们开始得剖分方法有关。

在链群中，可以由求边界运算得到得链叫做“边缘链,比如，

2AB+2BC+2CA＝d(2ＡBC)

说明等式左边这个链是一个边缘链。没有边界得链叫做“闭链、边缘链一定是闭链,而闭链不一定是边缘链、庞卡莱发现,“有多少闭链不是边缘链”这个性质与剖分无关，从而是几何体某种本性得代数体现。怎样代数地描述这个性质?考虑所有闭链，它们之间得加减，数乘，结果还是闭链，在其中把边缘链等同于0，这样得到得代数对象将不依赖于剖分几何体得方法，庞卡莱叫它“同调群”。

现在来算球面得同调群。顶点都没有边界,但是两个顶点得差一定是一条边得边界，

Ａ—B=d(BA）

按照庞卡莱得语言，Ａ—B是边缘链，将被等同于0,也就是说,在同调群中A－B=0，或者说A=Ｂ。这样,本质上只有一个0维对象，

A＝B＝C=D，

它可以被整数乘，这样我们得到球面得０维同调群

{…，－3A，—２A，-A，０，A