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不等式章末复习

一：知识脉络：

1．不等式的基本性质

不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据．因此，要熟练掌握和运用不等式的八条性质．

2．一元二次不等式的求解方法

(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，共同确定出解集．

(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．

当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得x＞n或x＜m；若(x－m)(x－n)＜0，则可得m＜x＜n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．

3．二元一次不等式(组)表示的平面区域

(1)二元一次不等式(组)的几何意义：二元一次不等式(组)表示的平面区域．

(2)二元一次不等式表示的平面区域的判定：对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B＞0时，①Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；②Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．

4．求目标函数最优解的两种方法

(1)平移直线法．平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等；

(2)代入检验法．通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性．于是在选择题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解．

5．运用基本不等式求最值，把握三个条件(易错点)

(1)“一正”——各项为正数；

(2)“二定”——“和”或“积”为定值；

(3)“三相等”——等号一定能取到．

二：典型例题：

例1(1)解不等式：；

(2)解不等式(a≠1)．

解：(1)原不等式等价于

即

由①得x(x＋2)＞0，所以x＜－2或x＞0；

由②得，

所以－3≤x≤1.

将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．

求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤x＜－2或0＜x≤1}．

(2)原不等式可化为，

即，

①当a＞1时，(*)式即为，而，所以，此时x＞2或.

②当a＜1时，(*)式即为，而.

若0＜a＜1，则，此时；

若a＝0，则，此时无解；

若a＜0，则，此时.

综上所述，

当a＞1时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(a－2,a－1)或x＞2))))；

当0＜a＜1时，不等式的解集为；

当a＝0时，不等式的解集为?；

当a＜0时，不等式的解集为.

例2.设不等式的解集为M，，求a的取值范围

解：分离自变量与参变量得

，故QUOTE2x-1a≥x2+2

因为QUOTEx∈[1,4]，所以QUOTE2x-10，从而满足题意，

只需，令QUOTEx∈1,4，令t=2x-1∈1,7则

QUOTEx2+22x-1=t

由函数的单调性知，t=1或t=7时函数取到最大值

比较知，t=1时，上式有最大值3

故当QUOTEa≥3时，有QUOTEx2-2ax+a+2≤0对任意QUOTEx∈1,4恒成立

即a的取值范围是QUOTE[3,+?)

例3.若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是()

解析：不等式组表示的平面区域如图所示：

由于直线过定点，

因此只有直线过AB中点时，直线能平分平面区域，因为A(1，1)，B(0，4)，所以AB中点.当过点时，，所以.

答案：A

[例4]若，则a＋b的最小值是()

答案：D

解析：由题意得所以

又，

所以，

所以3a＋4b＝ab，故.

所以，

当且仅当时取等号．

三：课后练习：

1．若a＞1，则a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()

A．2 B．a C．3 D.eq\f(2\r(a),a－1)

解：∵a＞1，∴a＋eq\f(1,a－1)＝a－1＋eq\f(1,a－1)＋1≥2eq\r(（a－1）·\f(1,a－1))＋1＝2＋1＝3，当且仅当a＝2时等号成立．故选C.

2．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是()

A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,3) C．2 D.eq\f(5,4)

解：∵x＞0，y＞0，∴4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，∴xy≤2，∴xy的最大值为2.故选C.

3．函数f(x)＝eq\f(5－4x＋x2,2－x)在(－∞，2)上的最小值是()

A．0 B．1 C．2 D．3