2025年高考数学一轮复习讲义专题07 函数的单调性与最大(小)值解析版.docx

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专题07函数的单调性与最大(小)值（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 6

【考点1】确定函数的单调性(区间) 6

【考点2】求函数的最值 12

【考点3】函数单调性的应用 16

【分层检测】 23

【基础篇】 23

【能力篇】 31

【培优篇】 35

考试要求：

1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

知识梳理

知识梳理

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果?x1，x2∈D

当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数

当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

(1)?x∈I，都有f(x)≤M；

(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M

(1)?x∈I，都有f(x)≥M；

(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为最大值

M为最小值

1.有关单调性的常用结论

在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.

2.函数y＝f(x)(f(x)0或f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的单调性相反.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（????）

A． B．

C． D．

3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（????）

A． B． C． D．

4．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（????）

A． B．

C． D．

5．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（????）

A． B． C． D．

6．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

参考答案：

1．D

【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.

【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，

则有函数在区间上单调递减，因此，解得，

所以的取值范围是.

故选：D

2．C

【分析】

利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.

【详解】

对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减，故A错误；

对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减，故B错误；

对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，

所以在上单调递增，故C正确；

对于D，因为，，

显然在上不单调，D错误.

故选：C.

3．A

【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.

【详解】令，则开口向下，对称轴为，

因为，而，

所以，即

由二次函数性质知，

因为，而，

即，所以，

综上，，

又为增函数，故，即.

故选：A.

4．D

【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】函数的定义域为，

且，

函数为奇函数，A选项错误；

又当时，，C选项错误；

当时，函数单调递增，故B选项错误；

故选：D.

5．D

【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.

【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.

对于B，为上的减函数，不合题意，舍.

对于C，在为减函数，不合题意，舍.

对于D，为上的增函数，符合题意，

故选：D.

6．A

【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，

若在上的最大值为，

比如，

但在为减函数，在为增函数，

故在上的最大值为推不出在上单调递增，

故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，

故选：A.

考点突破

考点突破

【考点1】确定函数的单调性(区间)

一、单选题

1．（2024·全国