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《三角恒等变换》章末复习课（刘季梅）

一．思维导图

例题讲解

例1．已知tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．

【知识点】两角和差的正切公式，二倍角的正切公式．

【数学思想】整体构造的思想

【解题过程】tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tan(α－β)＋tanβ,1－tan(α－β)tanβ)＝eq\f(1,3)0．

而α∈(0，π)，故α∈(0，eq\f(π,2))．

∵tanβ＝－eq\f(1,7)，0βπ，∴eq\f(π,2)βπ．∴－πα－β0.而tan(α－β)＝eq\f(1,2)0，

∴－πα－β－eq\f(π,2)．∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．

∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝eq\f(tanα＋tan(α－β),1－tanαtan(α－β))＝1，∴2α－β＝－eq\f(3π,4)．

【思路点拨】将所求角用已知角构造，注意通过角的范围定三角函数值的符号．

【答案】2α－β＝－eq\f(3π,4)．

例2．已知函数．

（1）求f(x)的最小正周期；

（2）求f(x)在区间上的最大值和最小值．

【知识点】三角恒等变换，三角函数的周期、最值．

【数学思想】整体构造的思想

【解题过程】（1）∵＝4cosx－1＝eq\r(3)sin2x＋2cos2x－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sin．∴f(x)的最小正周期为π．

（2）∵－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(2π,3)，故：

当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)时，即x＝eq\f(π,6)，f(x)取得最大值2；

当2x＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)时，即x＝－eq\f(π,6)，f(x)取得最小值－1．

【思路点拨】（1）将f(x)变形成三角函数的标准型进而求最小正周期为；（2）三角函数求最值．

【答案】（1）f(x)的最小正周期为π；（2）f(x)的最大值为2，最小值为－1．

例3．求函数y＝sinx＋sin2x－cosx（x∈R）的值域．

【知识点】三角恒等变换，二次函数和三角函数的值域．

【数学思想】换元的思想．

【解题过程】令sinx－cosx＝t，则由t＝eq\r(2)sin知t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，

又sin2x＝1－(sinx－cosx)2＝1－t2．∴y＝(sinx－cosx)＋sin2x＝t＋1－t2＝＋eq\f(5,4)．

当t＝eq\f(1,2)时，ymax＝eq\f(5,4)；当t＝－eq\r(2)时，ymin＝－eq\r(2)－1．

∴函数的值域为：．

【思路点拨】将sinx－cosx看作整体进行换元，将函数用sinx－cosx表示，进而换元求值域．

【答案】函数的值域为：．

章末检测题

第=1\*ROMANI卷（选择题，共60分）

一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．cos215°－sin215°的值是（）

A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)

【知识点】二倍角的余弦值．

【解题过程】cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)．

【思路点拨】熟悉二倍角的余弦公式及其逆用．

【答案】C．

2．已知则（）

A． B． C． D．

【知识点】两角和的正切公式．

【解题过程】由已知得．

【思路点拨】明确两角和的正切公式．

【答案】B．

若sin2α＝eq\f(1,4)，eq\f(π,4)αeq\f(π,2)，则cosα－sinα的值是（）

A．eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(3,4)D．－eq\f(3,4)

【知识点】(cosα－sinα)2＝1－sin2α

【解题过程】(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)．又∵eq\f(π,4)αeq\f(π,2)，∴cosαsinα，

故cosα－sinα＝－eq\r(\f(3,4))＝－eq\f(\r(3),2)．

【思路点拨】观察所