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数学④2．3教材解读
平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
（1）定量：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使．
把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（base）．
注：①这里实际是非零的向量；
②；
③是唯一确定的；
④此定理是平面向量坐标表示的基础．
（2）向量的夹角：已知两个非零向量和，作，，则叫做向量与的夹角．
当时，与同向；当时，与反向．
注：研究两个非零向量，的夹角时，两个向量必须平移到共起点．
（3）向量垂直：如果与的夹角是，就说与垂直，记作．
注：在不共线的两个向量中，垂直是一种特殊而重要的情形．
2．平面向量的正交分解及坐标表示
（1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
注：正交分解是向量分解中最常见的一种情形，是向量的坐标表示的基础．
（2）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个单位向量作为基底．对于平面内的任一向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得，则叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．叫做向量的坐标表示．
注：①显然，，，；
②在平面直角坐标系内，向量与有序实数对是一一对应的．
3．平面向量的坐标运算
（1）已知，，则，即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．
（2）一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，
即，，则．
（3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原向量的相应坐标，
即．
注：①平面向量的坐标运算使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来了．这样，很多几何问题的证明就转化为同学们熟知的数量的运算；
②向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
4．平面向量共线的坐标表示
设，，，则．
注：①勿将错记为；
②设，
则三点共线
．
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