2025年课标高考文数版习题与历届真题试卷-考点一　抛物线的定义和标准方程(带答案解析).docx

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10.3抛物线及其性质

考点一抛物线的定义和标准方程

1.(2024课标Ⅰ理,4,5分)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()

A.2B.3C.6D.9

答案C设焦点为F,点A的坐标为(x0,y0),

由抛物线定义得|AF|=x0+p2

∵点A到y轴的距离为9,∴x0=9,

∴9+p2

2.(2015浙江理,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是()

A.|BF|-1

C.|BF|+1

答案A过A,B点分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N,

则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1.

可知S△

1

=|CB|

=|BF

3.(2014课标Ⅰ理,10,5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若FP=4FQ,则|QF|=()

A.72B.3C.5

答案B∵FP=4FQ,∴点Q在线段PF上,且在两端点之间,过Q作QM⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l与x轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM∽△PFN,则|QM||FN|=|

4.(2014课标Ⅰ文,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,则x0

A.1B.2C.4D.8

答案A由y2=x得2p=1,即p=12,因此焦点F14,0,准线方程为l:x=-14,设A点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x0+14=5

评析本题考查抛物线的定义及标准方程,将|AF|转化为点A到准线的距离是解题的关键.

5.(2013课标Ⅱ理,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()

A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x

答案C∵以MF为直径的圆过点(0,2),∴点M在第一象限.由|MF|=xM+p2=5得M5-p2

∵点N的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y轴切于点(0,2),从而2=122p5-p2,即p

6.(2013课标Ⅰ文,8,5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为C上一点,若|PF|=42,则△POF的面积为()

A.2B.22C.23D.4

答案C如图,设点P的坐标为(x0,y0),由|PF|=x0+2=42,得x0=32,代入抛物线方程得,y02=42×3

所以|y0|=26,所以S△POF=12|OF||y0

=12×2×26=23

7.(2013课标Ⅱ文,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()

A.y=x-1或y=-x+1

B.y=33(x-1)或y=-3

C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)

D.y=22(x-1)或y=-2

答案C设直线AB与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B作AA1,BB1垂直于准线于A1,B1.由抛物线的定义可设|BF|=|BB1|=t,|AF|=|AA1|=3t.由三角形的相似得|BC||AB|

∴|BC|=2t,∴∠B1CB=π6,∴直线l的倾斜角α=π3或

又F(1,0),∴直线AB的方程为y=3(x-1)或y=-3(x-1).故选C.

8.(2012四川理,8,5分)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=()

A.22B.23C.4D.25

答案B由题意可设抛物线方程为y2=2px(p0).

由|MF|=p2+2=3得p=2,∴抛物线方程为y2

∴点M的坐标为(2,±22),∴|OM|=4+8=23,

故选B.

9.(2011课标文,9,5分)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为()

A.18B.24C.36D.48

答案C设抛物线方程为y2=2px(p0).

∵当x=p2

∴p=|AB|2

又P到AB的距离始终为p,

∴S△ABP=12

评析本题主要考查抛物线的定义、抛物线方程