2025年课标高考文数版习题与历届真题试卷-数列求和(带答案解析) (2).docx

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6.4数列求和

考点一数列求和

1.(2017课标Ⅰ理,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()

A.440B.330C.220D.110

答案A本题考查了等比数列求和、不等式以及逻辑推理能力.

不妨设1+(1+2)+…+(1+2+…+2n-1)+(1+2+…+2t)=2m(其中m、n、t∈N,0≤t≤n),

则有N=n(

由等比数列的前n项和公式可得2n+1-n-2+2t+1-1=2m.

因为n≥13,所以2nn+2,

所以2n+12n+n+2,即2n+1-n-22n,

因为2t+1-10,

所以2m2n+1-n-22n,故m≥n+1,

因为2t+1-1≤2n+1-1,所以2m≤2n+2-n-3,故m≤n+1.

所以m=n+1,从而有n=2t+1-3,因为n≥13,所以t≥3.

当t=3时,N=95,不合题意;

当t=4时,N=440,满足题意,故所求N的最小值为440.

解题关键解决本题的关键在于利用不等式的知识得出m=n+1.

一题多解本题也可以分别把N=110,220,330代入,利用排除法求解.

2.(2014课标Ⅱ文,5,5分)等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=()

A.n(n+1)B.n(n-1)

C.n(n

答案A∵a2,a4,a8成等比数列,

∴a42=a2·a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a

将d=2代入上式,解得a1=2,

∴Sn=2n+n(

3.(2012课标文,12,5分)数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前60项和为()

A.3690B.3660C.1845D.1830

答案D当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1,

当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3,

∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+1+a2k+3=2,

∴a2k-1=a2k+3,

∴a1=a5=…=a61.

∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)=30×(3+119)2

4.(2024江苏,11,5分)设{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N*),则d+q的值是.?

答案4

解析设数列{an}的首项为a1,数列{bn}的首项为b1,易知q≠1,则{an+bn}的前n项和Sn=na1+n(n-1)2d+b1(1-qn)1-q=d2n2+a1

5.(2017课标Ⅱ理,15,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则∑k=1n

答案2

解析本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和.

设公差为d,则a1+2d=3,4a1

∴前n项和Sn=1+2+…+n=n(

∴1Sn=2n

∴∑k=1n1Sk=21-12+12-13+…+1n-

思路分析求出首项a1和公差d,从而求出Sn.1Sn=2n

解后反思裂项相消法求和的常见类型:

①若{an}是等差数列,则1an·

②1n+k+n=1

③2n(2n-1)(

6.(2015江苏,11,5分)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列1an前10项的和为

答案20

解析由已知得,a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,……,an-an-1=n-1+1(n≥2),则有an-a1=1+2+3+…+n-1+(n-1)(n≥2),因为a1=1,所以an=1+2+3+…+n(n≥2),即an=n2+n2(n≥2),又当n=1时,a1=1也适合上式,故an=n2+n2(n∈N*),所以1an=2n2+n=21n-1n+1,从而1a1+

7.(2018天津理,18,13分)设{an}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4=b3+b5,a5=b4+2b6.

(1)求{an}和{bn}的通项公式;

(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N