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第十章圆锥曲线
10.1椭圆及其性质
五年高考
考点一椭圆的定义和标准方程
1.(2024全国甲,11,5分,综合性)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13
A.x2
C.x23+
答案B
2.(2024新高考Ⅰ,16,5分,综合性)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为
答案13
3.(2019课标Ⅲ,15,5分,基础性)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF
答案(3,15)
4.(2019浙江,15,4分,综合性)已知椭圆x29+
答案15
5.(2018浙江,17,4分,应用性)已知点P(0,1),椭圆x24+y2=m(m1)上两点A,B满足AP=2
答案5
6.(2024课标Ⅲ,21,12分,综合性)已知椭圆C:x225+
(1)求C的方程;
(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.
解析(1)由题设可得25-m25=154
(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ0,由题意知yP0.
由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-1y
所以|BP|=yP1+y
因为|BP|=|BQ|,
所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.
由直线BP的方程得yQ=2或8.
所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).
|P1Q1|=10,直线P1Q1的方程为y=13x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为102,故△AP1Q1的面积为
|P2Q2|=130,直线P2Q2的方程为y=79x+103,点A到直线P2Q2的距离为13026,故△AP2Q2的面积为
考点二椭圆的几何性质
1.(2018课标Ⅰ,4,5分,基础性)已知椭圆C:x2
A.1
答案C
2.(2018课标Ⅱ,11,5分,基础性)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()
A.1-32
答案D
3.(2017课标Ⅰ,12,5分,综合性)设A,B是椭圆C:x2
A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,3]∪[9,+∞)
C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,3]∪[4,+∞)
答案A
4.(2024全国甲,16,5分,综合性)已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF
答案8
5.(2024北京,20,15分,综合性)已知椭圆E:x2a2
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点P(0,-3)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与直线y=-3交于点M,N.当|PM|+|PN|≤15时,求k的取值范围.
解析(1)由题设,b=2,12×2a×2b=45.所以a=5
(2)直线BC的方程为y=kx-3.由y=kx-3,4x2+5y2=20得(5k2+4)x2-30kx+25=0.由Δ=(-30k)2-4×(5k2+4)×25=400·(k2-1)0,得|k|1.设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=30k5k2+4,x1x2=255k2+4.直线AB的方程为y=y1+2x1x-2.令y=-3,得点M的横坐标为xM
6.(2024课标Ⅱ,19,12分,综合性)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C
(1)求C1的离心率;
(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求C1与C2的标准方程.
解析(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2
不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-
由|CD|=43|AB|得4c=8b2
解得ca=-2(舍去)或ca=12
(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y2
由已知得3c+c+c+c=12,即c=2.所以C1的标准方程为x216+y2
7.(2019课标Ⅱ,20,12分,综合性)已知F1,F2是椭圆C:x2
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
解析(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=3c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,
故C的离心率e=ca
(
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