2025高考数学必刷题 第15讲、单调性问题（教师版）.pdfVIP

2025高考数学必刷题

第讲单调性问题

15

知识梳理

知识点一：单调性基础问题

1、函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则yf(x)

为增函数；如果f(x)0，则yf(x)为减函数．

2、已知函数的单调性问题

①若f(x)在某个区间上单调递增，则在该区间上有f(x)0恒成立（但不恒等于0）；

反之，要满足f(x)0，才能得出f(x)在某个区间上单调递增；

②若f(x)在某个区间上单调递减，则在该区间上有f(x)0恒成立（但不恒等于0）；

反之，要满足f(x)0，才能得出f(x)在某个区间上单调递减．

知识点二：讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续

的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部

分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置

关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零

点，则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新

函数再求导．

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函

数正负区间段）；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要

注意是否是一个连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部

分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

2025高考数学必刷题

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小

关系）；

（5）导数图像定区间；

【解题方法总结】

1、求可导函数单调区间的一般步骤

（1）确定函数f(x)的定义域；

（2）求f(x)，令f(x)0，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

（3）把函数f(x)的间断点（即f(x)的无定义点）的横坐标和f(x)0的各实根按由

小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；

（4）确定f(x)在各小区间内的符号，根据f(x)的符号判断函数f(x)在每个相应小区

间内的增减性．

注：①使f(x)0的离散点不影响函数的单调性，即当f(x)在某个区间内离散点处为

零，在其余点处均为正（或负）时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例

如，在(,)上，f(x)x3，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0，而显然f(x)x3

在(,)上是单调递增函数．

②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成

yf(x)(a,b)f(x)0f(x)

立．因为，即或，当时，函数在区间上

f(x)0f(x)0f(x)