抛物线及其标准方程.docx

3.3.1抛物线及其标准方程

教学目标

1.通过自主探究，画图，理解抛物线的定义及焦点、准线的概念；

2.通过交流合作，建立适当坐标系，能够推导抛物线的方程；

3.通过推导抛物线的方程，明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．

教学重点、难点

重点：掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．

难点：明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题

教学过程设计

环节一创设情境

通过前面的学习可以发现，如果动点到定点的距离与到定直线(不过点)的距离之比为，

设动点M到定点F的距离和到定直线（不过点F）的距离之比为，

当01时

动点M的轨迹为椭圆

当1时

动点M的轨迹为双曲线

当=1时

动点M的轨迹为？

问题1：当时，即动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时，点的轨迹会是什么形状?下面我们就来研究这个问题．

师生活动：教师引导学生学生回顾：动点M到定点F的距离与点M到定直线（不过点F）的距离之比为，当01时时，点M的轨迹为椭圆，当1时，点M的轨迹为双曲线，思考：当=1时，即动点M到定点F的距离和到定直线的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？

设计意图：问题引入设置悬念，引发学生思考。

问题2：如图3.3-1，是定点，是不经过的定直线，是上任意一点，过点作，线段的垂直平分线交于点．拖动点，点随之运动，你能发现点满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？

可以发现，在点随着点运动的过程中，始终有，即点与定点的距离等于它到定直线的距离，点的轨迹形状与二次函数的图象相似．

环节二抽象概括，形成概念

我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（parabola）．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．

问题3当直线l经过点F时,点的轨迹是什么？

过定点F且垂直于定直线l的一条直线.

问题4类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你能推出抛物线的标准方程吗？

建系---设点---列式---化简---检验

思考：观察抛物线的几何特征，如何建立抛物线的平面直角坐标系？

根据抛物线的几何特征，如图，我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.设|KF|=p(p0).

环节三解难释疑

设M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线是点的集合P={M||MF|=d}.

因为

因为|MF|=(x?p2

所以

所以(x?p2)2

从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点F(p/2,0)的距离和它到准x=?p/2的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上.

我们把方程y^2=2px(p0)叫做抛物线的标准方程.它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是F(p/2,0)，准线是x=?p/2的抛物线.

环节四合作探究

问题5在平面直角坐标系中，类比椭圆、双曲线，抛物线的焦点位置会有些什么情况？要怎样求不同开口方向的抛物线的标准方程呢？

在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程,抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表.

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

问题6抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点?

左边都是平方项，右边都是一次项.

问题7如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？

①焦点在一次项字母对应的坐标轴上.

②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向.

环节五展示交流

根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：

根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：

(1)准线方程为y=23

例2一种卫星接收天线如图3.3-3左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图3.3-3(1)．已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为lm，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．

解：如图3.3-3（2），在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上．

设抛物线的标准方程是．由已知条件得，点的坐标是，代入方程，得

，

即．

所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是．

【设计意图】

在实际情境中让学生感受抛物线的应用；锻炼学生阅读理解能力，提取信息的能力，加深对概念的理解；提升学生分析问题、解决问题的能力.

环节七归纳提升

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。