初等数论及其应用.pdf

整除性

数论这门学科最初是从研究整数开始的,所以也叫整

数论.后来整数论进一步发展,就叫数论.

数论的确切定义:数论是研究数的规律,特别是整数

性质的数学分支.

初等数论主要是用整数的四则运算方法来研究整数

性质(特别是一些特殊类型的正整数的性质及其关系)

的数学分支.

初等数论中得到的整数的许多性质都要直接或间接

地涉及整除性,可以说:整除性是初等数论的基础

2

整数集

自然数或者正整数指的是数1,2,…,而整数指的是数

0,±1,±2,⋯.全体整数的集合记为ℤ,而全体正整数或

自然数的集合记为ℤ+.

整数集ℤ关于加、减、乘运算是封闭的:任意,∈ℤ,

有+,−,∈ℤ.

但是,整数集ℤ关于除法运算不是封闭的:存在,∈ℤ,

/∉ℤ.如：7/2∉ℤ,10/4∉ℤ.因此,我们需要考虑

整除,即研究何时/∈ℤ.

3

整除的定义

定义1.1.1设,∈ℤ,且≠0.如果存在∈ℤ,使

得=,则称整除,记作|.此时,叫做的因

数,叫做的倍数.

如果不能整除,则记作∤

对任意整数,有1|,即1是任意整数的因数;

当≠0时,有|0和|,即0是任意整数的倍数,任

意非零整数是自身的因数也是自身的倍数.

如果一个整数是2的倍数,我们称它为偶数;否则称

它为奇数.偶数和奇数可分别表示如下的一般形式:

2,2+1,∈ℤ.

4

整除的基本性质

命题1.1.1设,,∈ℤ.

①如果|,|,那么|.

②如果|,≠0,那么|.

③如果|,|,那么对任意,∈ℤ,有|+.

④如果|,|,那么=或=−.

证明:上述4点的证明类似,这里仅证明第4点.设=,

=,其中,∈ℤ.于是

==()=()

显然≠0,由上式可得=1.由于,∈ℤ,则

==1,或==−1,即结论成立.

5

带余除法

定理1.1.1设,∈ℤ,且≠0,则存在唯一的,∈ℤ,

使得

=+,0≤||.

证明:(存在性证明)考虑整数序列

…,−2||,−||,0,||,2||,…

则必在上述序列的某相邻的两项之间.不妨假定

||≤(+1)||.

于是0≤−||||,令=−||,则0≤||.

因此,当0时,