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第⼗⼀章曲线积分与曲⾯积分
第四节对⾯积的曲⾯积分
⼀、对⾯积的曲⾯积分的概念与性质
:ρ(x,y,z),求质
引例设曲⾯形构件具有连续⾯密度
量M.
,z(ξ,η,ζ)
类似求平⾯薄板质量的思想采⽤kkk
“,,,”
细分近似求和取极限
,
的⽅法可得
nΣ
M=lim∑ρ(ξk,ηk,ζk)ΔSk
λ→0k=1Oy
,λnx
其中表⽰⼩块曲⾯的直径的
最⼤值(曲⾯的直径为其上任意两点间距离的最⼤者).
:∑,f(x,y,z)∑
定义设为光滑曲⾯是定义在上的⼀
个有界函数,∑,
若对做任意分割和局部区域任意取点
“乘积和式极限”
n
limf(ξ,η,ζ)ΔS记作∫∫f(x,y,z)dS
λ→0∑kkkk
k=1Σ
,f(x,y,z)∑
都存在则称此极限为函数在曲⾯上对⾯积
的曲⾯积分.f(x,y,z)
或第⼀类曲⾯积分其中叫做被积
,∑.
函数叫做积分曲⾯
,M=ρ(x,y,z)dS
据此定义曲⾯形构件的质量为∫∫Σ
曲⾯⾯积为S=∫∫ΣdS
对⾯积的曲⾯积分与对弧⻓的曲线积分性质类似.
•积分的存在性.f(x,y,z)∑,
在光滑曲⾯上连续
则对⾯积的曲⾯积分存在.
•对积分域的可加性.∑,例如分成两
若是分⽚光滑的
⽚光滑曲⾯Σ,Σ,则有
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f(x,y,z)dS=
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