《简单的线性规划（第2课时）》教学设计 (1).doc

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3.3.2简单的线性规划问题(第2课时)

(名师：陈庚生)

【核心素养】

通过学习简单的线性规划问题，提升学生的数学抽象、数学建模与数据处理的能力．

【学习目标】

理解线性规划问题中的某些几何意义，进而解决相应的非线性问题及含参问题．

【学习重点】

简单的二元线性规划问题．

【学习难点】

准确而快速的得到线性规划可行域，并进行最优解的求解．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

任务1思考：非线性目标函数如何求解？含参问题如何解决？

2．预习自测

1.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()

A．(－∞，5)B．[7，＋∞)

C．[5,7)D．(－∞，5)∪[7，＋∞)

【知识点：简单的线性规划；数学思想;数形结合】

解：C画出可行域，知当直线y＝a在x－y＋5＝0与y轴的交点(0,5)和x－y＋5＝0与x＝2的交点(2,7)之间移动时平面区域是三角形．故5≤a7.

2.已知变量满足约束条件若目标函数的最大值为1，则.

【知识点：简单的线性规划；数学思想；数形结合】

解：3

3.已知a0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()

A．B．C．1D．2

【知识点：简单的线性规划；数学思想;数形结合】

解：A根据约束条件画出可行域，如图，由图可知当直线z＝2x＋y经过点B时，z最小，由解得所以zmin＝2×1－2a＝1，解得a＝.故选A.

（二）课堂设计

1．知识回顾

图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤

(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；

(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；

(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．

2．课堂讲解

一、直线的斜率型

例1.已知实数x、y满足不等式组,求函数的值域.

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：所给的不等式组表示圆的右半圆(含边界)，

-2

-2

2

O

x

y

（-1，-3）

-2

可理解为过定点，斜率为的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域上任一点与点的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点和点的直线斜率最大，．过点所作半圆的切线的斜率最小．设切点为，则过B点的切线方程为．又B在半圆周上，P在切线上，则有解得因此.综上可知函数的值域为.

练习1：设实数满足，则的最大值是__________.

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：画出不等式组所确定的三角形区域ABC（如图2），表示两点确定的直线的斜率，求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP的斜率最大，故P为与的交点，即A点．∴．故答案为．

注：解决本题的关键是理解目标函数的几何意义，当然本题也可设，则，即为求的斜率的最大值．

由图可知，过点A时，t最大．代入，求出，即得到的最大值是．

练习2：若实数x，y满足则不等式组表示区域的面积为________，的取值范围是________．

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：如图所示，不等式组表示区域面积为×1×3＝，理解为区域上的点P(x，y)与点Q(1，－2)连线所在直线斜率的变化范围，kAQ＝＝1，kOQ＝＝－2，结合图形分析知的取值范围为(－∞，－2]∪[1，＋∞)．

二、平面内两点间的距离型（或距离的平方型）

例2.已知实数x、y满足，则的最值为

________.

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：目标函数，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方.由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示：

可行域为图中内部（包括边界），易求B（-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值，；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，.

例3.已知实数x、y满足的最小值.

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：目标函数，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5.由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：

点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得，故

练习3.已知，求的最小值．

【知识点：简单的线性规划；数学思想：数形结合】

解：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．而表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足Ｎ在线段上，故z的最小值是．

注：充分