7.3.2离散型随机变量的方差-高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册 (2).pptxVIP

第七章随机变量及其分布

7.3.2离散型随机变量的方差

则X的数学期望(或均值)为

E(X)=x₁P₁+x₂P₂+...+x,pn

若X服从两点分布，则E(X)=_P

数学期望的线性性质：E(aX+b)=aE(X)+b

2、求离散型随机变量均值的步骤：

复习回顾

1、离散型随机变量取值的平均水平——数学期望

X

X₁

X₂

Xn

P

p₁

p₂

Pn

(1)确定随机变量取值(2)求概率(3)写分布列(4)求均值

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

新课导入

离散型随机变量的数字特征——一组数据的均值和方差

已知一组样本数据：x₁,X₂,..,xn

样本均值：

样本方差：

反映这组数据相对于平均值的集中程度的量

例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。

如何评价这两名同学的射击水平?

通过计算可得，E(X)=8;E(Y)=8

由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平.

评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.

思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度?类似于这个概念，我们可以定义随机变量的方差.

新知探究

问题1从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.

X

6

7

8

9

10

P

0.09

0.24

0.32

0.28

0.07

Y

6

7

8

9

10

P

0.07

0.22

0.38

0.30

0.03

比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同

学的射击成绩更稳定.

为了能直观分析甲乙两名击中环数的离散程度，下面我们分别

作出X和Y的概率分布图.

+…+了随机变量取值的离散程度.

离散型随机变量取值的方差方差或标准差越小，随机

设离散型随机变量X的分布列如下表所示.变量的取值越集中；

XX₁X₂Xn变量的取值越分散.

则称：D(X)=(x₁—E(X)²p₁+(x₂-E(X)²p₂+…+(xn—E(X))²pn·

为随机变量X的方差，用D(X)表示.并称√D(X)为随机变量X的标准差，记为σ(X).

类比

随机变量的方差和标准

差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度。反映

新知探究样本数据的均值和方差

已知一组样本数据：x₁,X₂,.,xn

样本均值：

PP₁P₂Pn

方差或标准差越大，随机

样本方差：

D(X)二(6-8)²x0.09+(7-8)²x0.24+(8-8)²80.32中

(9-8)²8x0.28+(10-8)²x0.07=1.16

D(Y)=(6-8)²x0.07+(7-8)²80.22+(8-8)²80.38中

(9-8)²x0.30+(10-8)²80.03=0.92

D(X)D(Y)∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定.

典例解析

问题1从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示.

X

6

7

8

9

10

P

0.09

0.24

0.32

0.28

0.07

Y

6

7

8

9

10

P

0.07

0.22

0.38

0.30

0.03

分别计算两位同学的方差?

已知：E(X)=8;E(Y)=8

D(aX+b)=(ax₁+b—E(aX+b))²p₁+(ax₂+b—E(aX+b))²p₂+...

=(ax₁-aE(X))²p₁+(ax₂-aE(X))²p₂+..+(ax;—aE(X))²·pi

十...+(axn-aE(X)²pn

=a²[(x₁一E(X))²p₁+(x₂-E(X))²p₂+..+(x;一E(X)²·pi

=.D..()(xn一E(X)²pn)

所以，下面的结论成立：D(aX+b)=a²D(X)

X

十

a²

十

新知探究

证明如果X是一个离散型随机变量，则D(aX+b)=a²D(X)(其中a,b为常数)

X

X₁

X₂

Xn

P

P₁