专题05 线段的数量和位置关系的探究题（原卷版）-2023届中考数学压轴大题专项突破.pdfVIP

专题05线段的数量和位置关系的探究题

线段的数量关系一般是指线段的相等、和差关系、乘积关系和比例关系，线段的位置关系一般是指平行

关系、垂直关系和夹角问题。

线段的数量关系和位置关系的探究题，一般通过以下方式求解：

（1）通过证明三角形全等或者三角形相似，再根据全等三角形或相似三角形的性质，得到线段的数量关系，

通过转化可以求解。

（2）通过利用勾股定理和直角三角形的性质，得到线段的数量与位置关系。

（3）通过证明或者构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和三线合一的性质，得到线段的数量与位置关

系。

（4）通过证明或构造平行四边形或特殊的平行四边形，利用平行四边形或特殊的平行四边形的性质，得到

线段的数量与位置关系。

（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB

＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．

(1)CDEDEBCAE∠BAD+∠BCD180°∠B+∠ADC

小明的思路是：延长到点，使＝，连接．根据＝，推得＝

180°∠B∠ADEVADE≌VABCBC+CDAC

，从而得到＝，然后证明，从而可证＝，请你帮助小明写出完整的证

明过程．

(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC

之间的数量关系，并说明理由．

(3)ABCD∠BAD∠BCD90°ABADACBDO

【思维拓展】在四边形中，＝＝，＝＝6，与相交于点．若四边

形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．

（1）如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC（SAS），推出∠DAE=∠BAC，

AE=AC，推出△ACE的等边三角形，可得结论；

2CB+CD=AC2AAM⊥CDMAN⊥CBCBN

（）结论：2．如图中，过点作于点，交的延长线于点．证

AMDANBAASDM=BNAM=ANRtACMRtACNHLCM=CN

明△≌△（），推出，，证明△≌△（），推出，可

得结论；

（3）分两种情形：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．如图3-2中，

当∠CBD=75°时，分别求解即可．

【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解；

(2)CB+CD=2AC；理由见详解；

(3)33-3或3-3

【详解】（1）证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．

∵∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠B+∠ADC=180°，

∵∠ADE+∠ADC=180°

∴∠B=∠ADE，

在△ADE和△ABC中，

ìDA=BA

ï

ÐADE=ÐB

í，

ïDE=BC

î

∴△ADE≌△ABC（SAS），

∴∠DAE=∠BAC，AE=AC，

∴∠CAE=∠BAD=60°，

∴△ACE的等边三角形，

∴CE=AC，

∵CE=DE+CD，

∴AC=BC+CD；

（2）解：结论：CB+CD=2AC．

理由：如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．

∵∠DAB=∠DCB=90°，

∴∠CDA+∠CBA=180°，